Cuál es la profundidad relativa
para alcanzar la descarga máxima
en una alcantarilla circular?


Tamina Igartua y Victor M. Ponce


2015 Septiembre 19



Resumen. Usando el cálculo diferencial, se ha calculado la profundidad relativa y/D requerida para alcanzar la descarga máxima en una alcantarilla circular. Se demuestra que este valor es: y/D = 0.938. La razón de este comportamiento hidráulico es que cuando la profundidad de flujo aumenta más allá del valor y = 0.938 D, el perímetro mojado comienza a crecer más rápidamente que el área de flujo, haciendo que la descarga comience a disminuir.


1.  Introducción

La descarga máxima en una alcantarilla circular se produce, no cuando la alcantarilla está llena, sino cuando la alcantarilla está cerca de estar llena. La razón de este comportamiento es que a una cierta profundidad relativa y/D (en la cual y es la profundidad de flujo y D es el diámetro de la alcantarilla), el perímetro mojado comienza a crecer más rápidamente que el área de flujo y, en consecuencia, la descarga comienza a disminuir.

Utilizando el cálculo diferencial, en este artículo se calcula la profundidad relativa y/D que corresponde a la descarga máxima en el flujo en una alcantarilla circular.


2.  Derivación

De acuerdo con la ecuación de Manning, la descarga en unidades SI es (Ponce, 2014):

           1
Q  =  ____ A R 2/3 S 1/2  
           n
(1)

en la cual Q = descarga, A = área de flujo, R = radio hidráulico, S = pendiente de fondo, y n = coeficiente de fricción de Manning. Dado que R = A / P, esto lleva a:

           1
Q  =  ____ A 5/3 P - 2/3 S 1/2  
           n
(2)

En términos de r y θ, el área de flujo y perímetro mojado son, respectivamente (Fig. 1):

            r 2
A  =  ______   ( θ - sin θ )  
            2
(3)

           
P  =  r θ  
            
(4)


Fig. 1  Definición de las variables.

Por lo tanto:

  dA           r 2
______  =  ____   ( 1 - cos θ )  
  dθ            2
(5)


  dP           
______  =  r    
  dθ            
(6)

De acuerdo a la geometría del problema, la profundidad relativa es (Fig. 1):

y /D  =  (1/2) [ 1 - cos (θ/2) ]
(7)

El cálculo diferencial indica que el caudal máximo se produce cuando dQ/dθ = 0. Utilizando la Ec. 2, para el caso de pendiente de fondo y fricción constantes, esta condición lleva a:

  d       
____  ( A 5/3 P - 2/3 )  =  0
 dθ      
(8)

En la Ec. 8, operando en las derivadas:

  5                         dA            2                       dP  
____  A 2/3 P -2/3  _____   -   ____  A 5/3 P - 5/3 _____  =  0
  3                         dθ            3                        dθ
(9)

Simplificando la Ec. 9:

           dA                    dP  
 5 P   _____   -   2 A   _____  =  0
           dθ                    dθ
(10)

Reemplazando la Ecs. 3 a 6 en la Ec. 9:


 5 θ ( 1 - cos θ )  -  2 ( θ - sin θ )  =  0
(11)

Simplificando la Ec. 11:


 3θ  -  5θ cos θ  +  2sin θ = 0
(12)

En la Eq. 12, resolviendo para θ mediante prueba y error:  θ = 302° 25' 51.96".

Este ángulo se usa en la Ec. 7 para obtener la profundidad relativa:  y/D  =  0.938.


3.  Resumen

Utilizando el cálculo diferencial, se ha calculado la profundidad relativa y/D que corresponde a la descarga máxima en una alcantarilla circular. Se demuestra que este valor es:  y/D = 0.938. La razón de este comportamiento hidráulico se debe a que cuando la profundidad de flujo aumenta más allá del valor y = 0.938D, el perímetro mojado empieza a crecer más rápido que el área de flujo, causando que la descarga (Ec. 2) comience a disminuir.


Bibliografía

Ponce, V. M. 2014. Fundamentos de la hidráulica de canales. Texto en línea.


150921 15:00