1.  INTRODUCCIÓN

El fenómeno de ondas pulsantes (también llamadas ondas de rollo, por su nombre en Inglés roll waves) en el flujo en canales abiertos continúa atrayendo el interés de investigadores e ingenieros por igual. En 1907, Cornish mostró, aparentemente por primera vez, una fotografía de estas ondas en un artículo publicado en el Journal of the Royal Geographical Society (Fig. 1) (Cornish, 1907). Años después, en el Capítulo 8 de su libro de hidráulica de canales abiertos, Ven Te Chow se refirió al fenómeno como la "inestabilidad del flujo uniforme", lo que indica que, bajo ciertas condiciones, el flujo uniforme puede volverse inestable y desarrollar un tren de ondas como el que se muestra en la Fig. 1 (Chow, 1959). La Figura 2 muestra una fotografía más reciente del fenómeno.

Cornish

Fig. 1  Ondas pulsantes en un canal de los Alpes suizos (1907).

Un evento de ondas pulsantes es un fenómeno inusual, seguro de ser admirado por quienes tienen la suerte de observarlo. Sin embargo, en algunos casos la experiencia puede ser inquietante y hasta peligrosa. Por lo tanto, es necesario que los ingenieros hidráulicos conozcan los principios que rigen la formación y propagación de estas ondas, de modo que el diseño de un canal tienda a minimizar los posibles riesgos e impactos negativos.

En este artículo presentamos un estudio de caso en La Paz, Bolivia, donde los eventos de ondas pulsantes continúan repitiéndose en ciertos ríos canalizados con relativa frecuencia. La Paz es una ciudad de aproximadamente 800,000 personas y sede del estado plurinacional de Bolivia. La ciudad presenta un entorno geomorfológico muy peculiar, estando construida casi enteramente dentro de una inmensa depresión o cárcava, con varias corrientes naturales de fuerte pendiente drenando su lado oriental en dirección al centro de la depresión (Fig. 3).

Durante los últimos 30 años, la presión del desarrollo urbano ha resultado en la canalización de varias de estas corrientes con muros de mampostería, destinada a transportar flujos de avenida en forma hidráulicamente eficiente. Sin embargo, tal como han sido construidos, estos canales han modificado la sección transversal de la corriente, de manera que los eventos de ondas pulsantes son ahora frecuentes (2019), en cuanto no existían antes de la canalización. Con la amenaza en ciernes del calentamiento global, es de esperar que la intensidad y frecuencia de estos eventos se incremente con el tiempo. Por lo tanto, es necesario un enfoque renovado para el manejo adecuado de los riegos sociales causados por este fenómeno.

A modo de ilustración, mostramos dos videos producidos en La Paz en los últimos cinco años. El primer video muestra un evento de ondas pulsantes en el río Achumani, un afluente del río La Paz (Fig. 4), ocurrido en 2014. El video permite la estimación del período de las ondas pulsantes en 19 segundos.

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Cortesía de Jorge Molina

Fig. 4  Ondas pulsantes en el río Achumani, La Paz, Bolivia (2014).

El segundo video muestra un evento de ondas pulsantes en el río Huayñajahuira, otro afluente del río La Paz. En este caso se ve claramente que el flujo es lo suficientemente grande como para saltar sobre la parte superior del muro, lo cual es evidentemente un peligro para la seguridad pública (Fig. 5). En la actualidad (2019), este tipo de evento continúa repitiéndose en estos dos ríos canalizados, lo que hace evidente la búsqueda de una solución al problema.

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Cortesía de Jorge Molina

Fig. 5  Ondas pulsantes en el río Huayñajahuira, La Paz, Bolivia (2016).

En este artículo revisamos los antecedentes históricos y examinamos la teoría y experiencia de los últimos años, incluyendo las posibles soluciones para controlar y/o atenuar estas ondas, con el fin de evitar que causen daños materiales y/o pongan en peligro la vida humana.

2.  RESEÑA HISTÓRICA

En 1945, V. V. Vedernikov presentó, en idioma ruso, un análisis matemático exhaustivo de las ondas pulsantes (Vedernikov, 1945; 1946). Aproximadamente al mismo tiempo, A. Craya publicó un artículo sobre la inestabilidad del flujo en la revista francesa La Houille Blanche (Craya, 1945). Sin embargo, el trabajo definitivo de Craya sobre el tema de la inestabilidad del flujo se publicó solo siete años después (Craya, 1952). Entretanto, en un artículo publicado en Transactions of the American Geophysical Union, Ralph W. Powell bautizó el criterio de Vedernikov como el número de Vedernikov (Powell, 1948). Más tarde, Ven Te Chow confirmó la práctica en su conocido libro de texto (Chow, 1959).

Craya elucidó el criterio de Vedernikov, interpretándolo como el umbral en el cual la celeridad de las ondas cinemáticas es igual a la celeridad de las ondas dinámicas. Anteriormente, en 1900, Seddon, trabajando con datos del río Bajo Mississippi, había derivado la expresión de la celeridad de las ondas cinemáticas, es decir, ondas gobernadas solamente por la fricción y la gravedad (Seddon, 1900). Más tarde, Lighthill y Whitham (1955) presentaron el fundamento teórico de las ondas cinemáticas, destacando su aplicación a la propagación de ondas de avenida.

En contraste con la onda cinemática, la onda dinámica de la mecánica de fluidos clásica, la cual viaja con la celeridad de Lagrange, es una onda gobernada solamente por la inercia y el gradiente de presiones (Lagrange, 1788). Conviene observar que la celeridad relativa de la onda dinámica es el denominador del conocido número de Froude (Ponce, 2014: Chapter 1).

Ponce (1991) presentó un tratamiento teórico unificado de los números de Froude y Vedernikov, demostrando que son esencialmente independientes entre sí. El análisis continuó el trabajo anterior de Ponce y Simons (1977), el cual sentó las bases para el análisis del flujo no permanente en canales abiertos en función del número de onda adimensional. Ponce confirmó el hallazgo anterior de Craya en relación a que la inestabilidad del flujo se produce cuando las ondas de masa (las ondas cinemáticas) viajan más rápido que las ondas de energía (las ondas dinámicas). Este umbral se produce cuando la celeridad de la onda cinemática es igual o superior a la celeridad de la onda dinámica, es decir, cuando el número de Vedernikov V ≥ 1. Por lo tanto, la ocurrencia de las ondas pulsantes está intrínsecamente conectada con el concepto del número de Vedernikov.

3.  EL NÚMERO DE VEDERNIKOV

Ponce (1991) y más recientemente, Ponce (2014) identificaron tres velocidades de interés en el flujo no permanente en canales abiertos:

1. La velocidad u del flujo uniforme, que puede calcularse mediante las fórmulas de Manning o Chezy;

2. La celeridad relativa v de las ondas cinemáticas, definida como v = c_k - u, en la cual c_k es la celeridad de las ondas cinemáticas; y

3. La celeridad relativa w de las ondas dinámicas, definida como w = c_d - u, en la cual c_d es la celeridad de las ondas dinámicas.

A continuación se definen las siguientes variables hidráulicas:

Definición de variables hidráulicas Descarga:  Q Área de flujo:  A Velocidad media:  u = Q / A Perímetro mojado:  P Ancho superior:  T Radio hidráulico:   R = A /P Profundidad hidráulica:   D = A /T Curva de gasto caudal/área de flujo:  Q = α A β Aceleración de la gravedad:  g Celeridad de la onda cinemática (Ponce, 2014: Capítulo 1):  ck = β u Celeridad de la onda cinemática relativa:  v = ck - u  =  (β - 1) u Celeridad adimensional de la onda cinemática relativa:  v / u = β - 1 Celeridad de la onda dinámica (Ponce, 2014):  cd = u  ±  (gD)1/2 Celeridad de la onda dinámica relativa:  w = cd - u  =  (gD)1/2 Celeridad adimensional de la onda dinámica relativa:  w / u = (gD)1/2 / u  =  1 / F Número de Froude:  F = u / w  =  u / (gD)1/2 Número de Vedernikov:  V = v / w  =  (β - 1) u / (gD)1/2

Por lo tanto, hay solo tres velocidades características en el presente análisis: u,v y w. El número de Froude es la relación entre la primera y la tercera:   F  =  u / w; el número de Vedernikov es la relación entre la segunda y la tercera:   V  =  v / w.

Se ve claramente que los números de Froude y Vedernikov son independientes entre sí; las tres velocidades dan lugar a solo dos números adimensionales independientes, los números de Froude y Vedernikov. La tercera relación es la celeridad relativa adimensional de la onda cinemática v / u  =  β - 1  =  V / F. Por lo tanto, el exponente β de la curva de gasto subsuma tanto V como F. Se concluye lo siguiente:

β  =  1 + (V / F )

(1)

y, en consecuencia, el exponente de la curva de gasto caudal/área puede expresarse en términos de los números de Froude y Vedernikov de la siguiente manera:

Q = α A 1 + (V / F )

(2)

En resumen, el número de Froude es la relación entre la velocidad del flujo y la celeridad relativa de las ondas dinámicas. Para F < 1, prevalecen las condiciones de flujo subcrítico y las perturbaciones superficiales pueden viajar aguas arriba, lo que hace posible el control aguas abajo. Para F > 1, prevalecen las condiciones de flujo supercrítico y las perturbaciones superficiales no pueden viajar aguas arriba; por lo tanto, el flujo solo puede controlarse desde aguas arriba. El criterio de Froude es estrictamente aplicable al flujo uniforme, aunque en la práctica su uso se ha extendido a otras condiciones de flujo.

El número de Vedernikov es la relación entre la celeridad relativa de las ondas cinemáticas y la celeridad relativa de las ondas dinámicas. Como tal, el criterio de Vedernikov es estrictamente aplicable al flujo no permanente. Para V < 1, las ondas dinámicas viajan más rápido que las ondas cinemáticas y, en consecuencia, el flujo es estable, es decir, libre de ondas pulsantes. Por el contrario, para V > 1, las ondas cinemáticas viajan más rápido que las ondas dinámicas y, en consecuencia, el flujo es inestable, es decir, sujeto a la aparición de ondas pulsantes. Sin embargo, la ocurrencia de ondas pulsantes dependerá adicionalmente de las condiciones de frontera (Ver Sección 5). Por lo tanto, el criterio de Vedernikov es necesario pero no suficiente para el desarrollo de ondas pulsantes.

El transporte de masa y energía tiene un rol preponderante en el análisis de ondas pulsantes. Está muy bien establecido que mientras las ondas cinemáticas transportan masa, las ondas dinámicas transportan energía (Lighthill and Whitham, 1955). Por lo tanto, la aparición de ondas pulsantes debe estar relacionada con el transporte de masa superando al transporte de energía. Bajo esta óptica, las ondas pulsantes son vistas como una curiosa manifestación física de la preponderancia del transporte de masa sobre el transporte de energía en el flujo no permanente en canales.

4.  EFECTO DE LA SECCIÓN TRANSVERSAL

El número de Vedernikov es:

V  =  (β - 1) u / (gD)1/2

(3)

Los ingenieros hidráulicos están muy familiarizados con el número de Froude; sin embargo, no puede decirse lo mismo del número de Vedernikov, el cual continúa siendo mayormente ignorado en la práctica de la ingeniería hidráulica (Ponce, 2002). El número de Vedernikov se puede expresar de la siguiente manera:

V = (β - 1) F

(4)

La Ecuación 4 demuestra que el número de Vedernikov y el fenómeno de inestabilidad de flujo están relacionados a través del producto (β - 1) por el número Froude F. En la práctica, este último no varía en un amplio rango; por lo tanto, (β - 1) es el factor que controla la inestabilidad del flujo.

De acuerdo con la teoría, la estabilidad neutral corresponde a V = 1. De la Ec. 4, el número de Froude correspondiente a la estabilidad neutral es:

Fns  =  1 / (β - 1)

(5)

Con el fin de aclarar el significado físico de la inestabilidad del flujo, es necesario examinar la naturaleza de β, el exponente de la curva de gasto caudal-área (Q - A). Se ve que β es la relación entre la celeridad de la onda cinemática c_k y la velocidad de flujo u. En otras palabras, β es el factor por el cual hay que multiplicar la velocidad de flujo para obtener la celeridad de la onda cinemática. Para β ≡ 1, la celeridad de la onda cinemática es igual a la velocidad de flujo, evitándose así la inestabilidad del flujo (las ondas no pueden sobrepasar al flujo uniforme).

El valor de β es una función del tipo de fricción y la forma de la sección transversal. En la práctica, el tipo de fricción puede ser:

1. Laminar;

2. Mixto laminar-turbulento, o

3. Turbulento.

El flujo turbulento puede expresarse en términos de las ecuaciones de Manning o Chezy.

La forma de la sección transversal puede variar ampliamente, y con ella, el valor de β. Existen tres formas de sección transversal asintóticas, en términos de los valores de β (Ponce, 2014: Capítulo 1):

1. Hidráulicamente ancha, con perímetro mojado constante P;

2. Triangular, para el cual el ancho superior T es proporcional a la profundidad máxima de flujo d;

3. Inherentemente estable, con radio hidráulico constante R (Ponce y Porras, 1995).

La Tabla 1 muestra los valores de β correspondientes a sendas combinaciones seleccionadas de fricción y forma de la sección transversal. En la última columna se muestran los valores del número de Froude neutralmente estable F_ns, calculados usando la Ec. 5. El rango práctico de los valores de β mostrados es:  1 ≤ β ≤ 3, con el valor más alto (β = 3) correspondiente a flujo laminar en una sección hidráulicamente ancha (es decir, flujo superficial en un plano) y el valor más bajo a la sección transversal inherentemente estable. Aquí es necesario reconocer a Liggett (1975) como el pionero de la teoría del canal estable.

5.  PROPAGACIÓN DE ONDAS POCO PROFUNDAS

La condición necesaria y suficiente para la formación de ondas pulsantes puede analizarse utilizando la teoría de la propagación de ondas poco profundas debida a Ponce and Simons (1977). Estos autores aplicaron el método de estabilidad lineal al conjunto de ecuaciones del flujo no permanente en canal abierto, comúnmente conocidas como ecuaciones de St. Venant. El análisis condujo a funciones de celeridad y atenuación para varios tipos de ondas, incluyendo ondas cinemáticas, difusivas y dinámicas (Ponce, 2014: Capítulo 10). Las conclusiones de este estudio se resumen en las Figs. 6 a 8.

La Figura 6 muestra la celeridad relativa adimensional c_r* (ordenadas) vs una amplia gama de números de onda adimensionales σ_* (abscisas). Esta figura muestra que c_r* ⇒ 0.5 cuando σ_* ⇒ 0 en el rango cinemático (a la izquierda). Por el contrario, c_r* ⇒ (1/ F) cuando σ_* ⇒ ∞ en el rango dinámico (a la derecha). Como era de esperarse, para valores medios del número de onda adimensional, c_r* varía fuertemente con el número de onda y la variación es más marcada a medida que disminuye el número de Froude. Admirablemente, la Fig. 6 confirma la validez de la fórmula de Seddon hacia la izquierda y de la fórmula de Lagrange hacia la derecha.

La Figura 6 también muestra que para F = 2, c_r* es constante e igual a 0.5, lo cual corresponde al valor del número de Froude neutralmente estable (V = 1) para un canal hidráulicamente ancho con fricción de Chezy (Tabla 1). Por lo tanto, para F = 2, todas las ondas, independientemente de su escala, se transportan con la misma celeridad, lo cual confirma la validez de la teoría de Vedernikov.

La Figura 6 describe la atenuación de ondas para F < 2 (es decir, para un gradiente c_r* positivo) y la amplificación de ondas para F > 2 (para un gradiente c_r* negativo), confirmando nuevamente la teoría de Vedernikov.

La Figura 7 muestra valores del decremento logarítmico δ (ordenadas) vs los números de onda adimensionales σ_* (abscisas), para números de Froude en el rango 0.01 ≤ F ≤ 1.5. [El valor F = 2 tiene atenuación cero; por lo tanto, no se puede graficar en una escala logarítmica]. En correspondencia directa con la Fig. 6, la Fig. 7 muestra que la atenuación de onda es más marcada a medida que el número de Froude disminuye a F = 0.01. Puede observarse que la atenuación máxima coincide con el punto de inflexión en las curvas c_r* vs. σ_* de la Fig. 6. Se confirma que la atenuación de onda disminuye hacia cualquier extremo del espectro del número de onda, con el decremento logarítmico -δ ⇒ 0 para ambos casos, σ_* ≤ 0.001 (ondas cinemáticas) y σ_* ≥ 1000 (ondas dinámicas).

La Figura 8 muestra valores del incremento logarítmico +δ (ordenadas) (es decir, amplificación de onda) vs los números de onda adimensionales σ_* (abscisas), para números de Froude en el rango 3 ≤ F ≤ 10. En correspondencia directa con la Fig. 6, se muestra que la amplificación de onda es algo más marcada a medida que el número de Froude aumenta de F = 3 a F = 10. Puede observarse que la amplificación máxima coincide con el punto de inflexión en las curvas c_r* vs. σ_* de la Fig. 6, confirmándose que la amplificación de la onda disminuye hacia cualquier extremo del espectro del número de onda adimensional, con +δ ⇒ 0 para ambos casos σ_* ≤ 0.001 (ondas cinemáticas) y σ_* ≥ 1000 (ondas dinámicas).

El análisis confirma que se producirá una amplificación de onda para los números de Froude F > 2, lo cual corresponde al número de Vedernikov V > 1 para la fricción de Chezy en un canal hidráulicamente ancho. Como se muestra en la Tabla 1, para el caso de la fricción de Manning, la condición V > 1 corresponde a F > 1.5. Esto indica que la inestabilidad del flujo, correspondiente a un valor positivo de δ, puede ocurrir con números de Froude tan bajos como 1.5.

La experiencia práctica sugiere que el criterio de Vedernikov (V ≥ 1) es necesario pero no suficiente para la aparición de ondas pulsantes. Las ondas pulsantes no ocurren todo el tiempo en canales empinados en los cuales se satisface el criterio de inestabilidad. De hecho, las ondas pulsantes son, por lo general, una ocurrencia inusual.

En resumen, la teoría de la propagación de ondas poco profundas de Ponce y Simons (1977) confirma la teoría de Vedernikov. Significativamente, para los números de Froude en el régimen inestable, el valor del incremento logarítmico δ (Fig. 8) no es constante, alcanzando su punto máximo en el punto de inflexión de la curva de celeridad relativa adimensional vs el número de onda adimensional (Fig. 6). Este hecho establece claramente un rango preferencial de número de onda adimensional para la amplificación de ondas pulsantes.

6.   VERIFICACIÓN EXPERIMENTAL

La Figura 8 muestra el rango de números de onda adimensionales donde la amplificación de onda es más fuerte. De hecho, hay un valor de σ_* para el cual el incremento logarítmico +δ es máximo. La Figura 8 muestra que para F = 4 (la curva roja), +δ_pico = 0.5 corresponde a σ_*@pico = 0.22.

La amplificación de onda está asegurada por la naturaleza de la variación de la celeridad relativa adimensional para F > 2 en la Fig. 6. Para F = 4, la amplificación de onda pico ocurre en el punto de inflexión de la curva roja de la Fig. 6, para el cual σ_*@inflexión = 0.22. Hay que tener en cuenta que este valor es igual a σ_*@pico = 0.22 de la Fig. 8. Por lo tanto, se confirma la existencia de un rango preferencial de números de onda adimensional para la propagación de una onda pulsante.

Para verificar la teoría, Ponce and Maisner (1993) utilizaron los resultados de laboratorio colectados por Brock en el Instituto de Tecnología de California. Brock (1967) midió las profundidades de cresta y los períodos de onda en una amplia gama de condiciones de flujo. Ponce y Maisner compararon números de onda adimensionales experimentales, calculados a partir de períodos de onda medidos por Brock, con números de onda adimensionales calculados por la teoría. Si la teoría es correcta, mostraría que los datos de laboratorio grafican cerca del pico de las curvas que se muestran en la Fig. 8.

Los resultados se muestran en la Fig. 9. Se observa que los datos de Brock concuerdan razonablemente con la teoría. Se muestra que todos los datos medidos grafican cerca de los picos del incremento logarítmico. Por lo tanto, el componente de ondas pulsantes de la teoría de la propagación de ondas poco profundas se verifica experimentalmente.

7.  DIFUSIÓN VS AMPLIFICACIÓN DE ONDAS

Las ondas pulsantes, las cuales occurren bajo flujo inestable, son sólo una de las manifestaciones del flujo no permanente en canales abiertos (V > 1). Las otras son las ondas cinemáticas y dinámicas que ocurren bajo flujo estable (V < 1). Bajo flujo inestable, las ondas se desarrollan en un canal abierto por la acción de las condiciones de contorno y otras irregularidades del flujo. Una vez en el canal, las diversas ondas pueden: (a) atenuarse, (b) mantener su tamaño, o (c) amplificarse. La teoría confirma que las ondas: (a) se atenuarán para V < 1; (b) mantendrán su tamaño para V = 1; y se amplificarán para V > 1 (Sección 3).

El criterio de Vedernikov V = 1 es un criterio absoluto y, por lo tanto, independiente del tipo de fricción o forma de la sección transversal. Se puede expresar alternativamente como F_ns, es decir, el número de Froude correspondiente a V = 1 (Sección 4). La Tabla 1 muestra que F_ns varía con el tipo de fricción y la forma de la sección transversal. Por ejemplo, F_ns = 2 para la fricción de Chezy en un canal hidráulicamente ancho, F_ns = 4 para la fricción de Chezy en un canal triangular y F_ns = ∞ para un canal inherentemente estable, independientemente del tipo de fricción. Puede observarse que F_ns aumenta con la disminución de β a medida que la forma de la sección transversal se aleja de ser hidráulicamente ancha; en el límite, para β ⇒ 1, F_ns ⇒ ∞.

La atenuación o amplificación de la onda dependerá de: (1) el tipo de fricción, y (2) el tipo de sección transversal. Para V < 1, todas las ondas se atenúan. La intensidad de la atenuación dependerá del número de Froude y del número de onda adimensional, con los números de Froude más bajos experimentando una atenuación notablemente mayor (Fig. 7). Los picos de atenuación de las ondas están cerca del medio y a la derecha del medio del espectro de números de onda adimensionales.

Para V > 1, las ondas se amplifican. La intensidad de la amplificación dependerá del número de Froude y del número de onda adimensional, con los números de Froude más altos experimentando una amplificación algo mayor (Fig. 8). Los picos de amplificación de las ondas cerca están cerca del medio y a la derecha del medio del espectro de números de onda adimensionales.

La intensidad de atenuación o amplificación de la onda está relacionada con la variación de la celeridad relativa adimensional con el número de onda adimensional (Fig. 6). En el régimen estable (V < 1), la intensidad de variación aumenta notablemente a medida que disminuye el número de Froude, aumentando la intensidad de atenuación (Fig. 7). Por el contrario, en el régimen inestable (V > 1), la tasa de variación aumenta levemente a medida que aumenta el número de Froude, aumentando ligeramente la intensidad de amplificación (Fig. 8).

El exponente de la curva de gasto β condiciona y produce atenuación o amplificación a cualquier escala de números de onda. Los valores de β ⇒ 5/3 para la fricción de Manning (y β ⇒ 3/2 para Chezy) conducen a la amplificación de la onda. Esto se debe a que el transporte de las olas no es lineal; los picos de las ondas pueden viajar más rápido que el flujo medio, con las caras de las ondas dispuestas a inclinarse y eventualmente romperse. Por el contrario, los valores de β ⇒ 1 (disminuyendo a 1) conducen a la atenuación o difusión de las ondas, porque los picos de las ondas viajan casi a la misma velocidad que el flujo medio y, por lo tanto, están condicionados a no empinarse.

En conclusión, la selección de β (en la etapa de diseño) es una forma segura de controlar la amplificación del flujo y, por lo tanto, evitar la inestabilidad. Un canal hidráulicamente ancho presenta β ⇒ 5/3 para la fricción de Manning (y β ⇒ 3/2 para Chezy); por lo tanto, no es propicio para la difusión de ondas. Además, una sección transversal de canal rectangular típico es cercana a la sección hidráulicamente ancha, con valores de β en el rango de 3/2 a 5/3. Por lo tanto, una sección rectangular no es propicia para la difusión de ondas. Los valores de β ≤ 4/3 para Manning (o β ≤ 5/2 para Chezy) son más propicios para la difusión de ondas, ya que aumentan el valor de F_ns por encima de 3 o 4 (Tabla 1), lo que desalienta la ocurrencia de inestabilidad del flujo.

8.  CÁLCULO DEL VALOR DE β

El valor de β, el exponente de la curva de gasto caudal-área, una característica de la sección transversal, determina si el flujo puede volverse inestable. Un valor de β = 5/3, correspondiente a un canal hidráulicamente ancho (Manning), conduce más fácilmente a la inestabilidad del flujo. A medida que β disminuye a 4/3, es decir, para un canal triangular (Manning), se requiere un número de Froude mayor para producir inestabilidad de flujo, lo que desalienta a ésta última. Conforme β ⇒ 1, la inestabilidad del flujo ya no es posible. Por lo tanto, es imperativo que los canales con pendientes empinadas (bajo flujo supercrítico) se diseñen prestando especial atención al valor de β.

El programa en línea canalenlinea15b calcula β para un canal prismático de sección transversal trapezoidal, rectangular o triangular (Fig. 10). La calculadora requiere la siguiente entrada:

Aquí consideramos dos ejemplos: (1) una sección transversal rectangular, y (2) una sección transversal trapezoidal; para conducir una descarga de Q = 50 m³/s. En el Ejemplo No. 1, asumimos que b = 5.8 m, y = 1.066 m, z₁ = 0, z₂ = 0, n = 0.025 y S = 0.057. El resultado de canalenlinea15b se muestra en la Fig. 11.

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Fig. 11  Resultados de canalenlinea15b para el Ejemplo No. 1.

Los resultados son: Q = 50 m³/s; v = 8.088 m/s; F = 2.501; β = 1.607; F_ns = 1.646; y V = 1.519. Como V > 1, se concluye que esta condición puede conducir a la inestabilidad del flujo. Obsérvese que para esta sección transversal rectangular, β = 1.607 está cerca de la parte superior del rango factible (1 ≤ β ≤ 5/3).

En el Ejemplo No. 2, asumimos que b = 1.2 m, y = 2.391 m, z₁ = 0.5, z₂ = 0.5, n = 0.025, y S = 0.057. El resultado de canalenlinea15b se muestra en la Fig. 12.

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Fig. 12  Resultados de canalenlinea15b para el Ejemplo No. 2.

Los resultados son: Q = 50.03 m³/s; v = 8.735 m/s; F = 2.208; β = 1.4; F_ns = 2.497, y V = 0.884. Como V < 1, se concluye que esta condición de flujo no conducirá a la inestabilidad del flujo. En este caso, la sección transversal es trapezoidal, y β = 1.4 está cerca de un valor central dentro del rango factible (1 ≤ β ≤ 5/3).

Cabe mencionar que la elección de la forma de la sección transversal y las dimensiones del canal con el objetivo de reducir β debe hacerse con cuidado. Por ejemplo, un canal trapezoidal ancho no necesariamente puede conducir a una reducción en el valor de β, porque el aumento en el ancho superior T dará como resultado una disminución en la profundidad hidráulica D, lo que conducirá a un aumento en los números de Froude y Vedernikov.

9.  LA NATURALEZA DEL EXPONENTE β

El valor de β es menor no sólo para canales triangulares, sino también para canales angostos. La Tabla 3 muestra los cálculos de β para seis canales de prueba diferentes (Ver cuadro a continuación) para conducir una descarga de Q = 50 m³/s. Para emular el estudio de caso de La Paz (Ver Sección 11), hemos asumido para estos canales de prueba un valor de Manning n = 0.025 y una pendiente de fondo S = 0.057.

Canales de Prueba: Rectangular. Trapezoidal. Triangular con las mismas pendientes laterales (z1 = 1 y z2 = 1). Triangular con diferentes pendientes laterales (z1 = 0.5 y z2 = 1). Rectangular angosto y profundo. Rectangular muy angosto para conducir Q /10 (el concepto de difusor, ver Sección 10).

Los resultados mostrados en la Tabla 3 llevan a las siguientes conclusiones:

Conclusiones: β es bastante alto (β = 1.607) para el canal rectangular (i = 1). β disminuye un poco (a β = 1.4) para el canal trapezoidal (i = 2). β disminuye a 1.333 para el canal triangular con pendientes laterales iguales (i = 3). β disminuye a 1.333 para el canal triangular con pendientes laterales diferentes (i = 4). β disminuye sustancialmente (a β = 1.356) para el canal angosto y profundo (i = 5). β disminuye sustancialmente (a β = 1.231) para el canal muy angosto (i = 6).

La Tabla 3 muestra que a medida que β disminuye, V también disminuye. En particular, para los casos de prueba 2 a 6, el número de Vedernikov V < 1, lo cual asegura la estabilidad del flujo y la consiguiente ausencia de ondas pulsantes. Además, para la sección muy angosta (i = 6), β se reduce aún más a β = 1.269, con un valor correspondiente V = 0.181, siendo este último un valor claramente bajo. Llegamos a la conclusión de que β es de suma importancia en el diseño hidráulico de canales para evitar la inestabilidad del flujo y controlar así las ondas pulsantes.

10.  CONTROL MECÁNICO DE LAS ONDAS PULSANTES

El criterio de Vedernikov es una condición necesaria, pero puede no ser suficiente para el desarrollo de ondas pulsantes (Sección 5). Existe una escala preferencial de número de onda adimensional para la propagación de ondas pulsantes (Fig. 8). Por lo tanto, un evento de ondas pulsantes también puede depender de la condición de límite aguas arriba, es decir, de la escala adimensional de la onda entrante. Se concluye que existe una estocasticidad acerca de la ocurrencia de un evento de ondas pulsantes, lo cual impide que ocurra con demasiada frecuencia o a intervalos regulares.

Además de la evaluación del número de Vedernikov, los eventos de ondas pulsantes también pueden controlarse atenuando mecánicamente los números de onda preferenciales si, por casualidad, estuvieran presentes. Esto se puede lograr colocando un difusor de momento en el canal, en o cerca del límite aguas arriba. Un difusor de momento separa el flujo en una serie de canales angostos (Fig. 13). La fricción adicional, junto con el pequeño aspecto (B/y) de los elementos del canal difusor, hace que el valor de β disminuya (Fig. 14). Este hecho se confirma con los datos de la Tabla 3, línea 6, para los cuales β = 1.231 y V = 0.157.

En la práctica, es muy probable que un difusor de momento necesite un modelamiento físico y/o matemático para determinar adecuadamente sus propiedades hidráulicas y dimensionar sus características geométricas.

11.  ESTUDIO DE CASO:   TRIBUTARIOS DEL RÍO LA PAZ, LA PAZ, BOLIVIA

Los resultados de este documento se complementan con un estudio de caso de dos afluentes del río La Paz, el cual fluye a través de la ciudad de Nuestra Señora de La Paz, comúnmente conocida como La Paz, en el departamento del mismo nombre, Bolivia. El departamento de La Paz se muestra en color vino, inmediatamente al este del Perú en el mapa de la derecha (Fig. 15). La ubicación aproximada de la cuenca es el punto azul dentro del departamento de La Paz (haga clic aquí ⇒ Fig. 15 para desplegar).

La cuenca del río La Paz comprende 496.4 km² y tiene seis (6) afluentes: (1) Choqueyapu, (2) Orkhojahuira, (3) Irpavi, (4) Achumani, (5) Jillusaya y (6) Huayñajahuira (Fig. 15). En la temporada de lluvias 2018-19, que comprende el período de octubre 2018 a abril 2019, se han documentado varios eventos de ondas pulsantes en los ríos Achumani y Huayñajahuira. Los detalles se muestran en la Tabla 4.

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Los canales están construidos con paredes de mampostería de piedra y con fondo no revestido; ver Figs. 16 y 17. La mayoría de los tramos tienen caídas verticales para la reducción y control de la pendiente local (Tabla 4). Se ha obtenido un valor aproximado de la celeridad de onda c = 10.5 m/s en base a los videos disponibles de eventos de ondas pulsantes. Por lo tanto, suponiendo un valor de β ≈ 1.5, la velocidad media del flujo (ahora denominada v) puede aproximarse de la siguiente manera: v = c /β = 7 m/s.

El coeficiente de fricción de Manning se ha estimado tentativamente en n = 0.030 para el río Achumani (Fig. 16) y n = 0.025 para el río Huayñajahuira (Fig. 17) (Chow, 1959).

La Tabla 5 muestra los cálculos de β y V para siete (7) tramos seleccionados con pendientes locales relativamente pronunciadas (S_local ≥ 0.034; Tabla 4). Para comparar eventos de frecuencia similar, las profundidades de flujo se establecieron para conducir la misma descarga, elegida como Q₂₅ = 106.1 m³/s para el río Achumani y Q₂₅ = 30.97 m³/s para el río Huayñajahuira (Plan Maestro de Drenaje, 2007). Las velocidades medias mostradas en la Tabla 5 están alrededor de v = 7 m/s, lo cual indica que el valor de la fricción de borde se ha estimado adecuadamente.

Se ve que todos los canales tienen números de Vedernikov V > 1, lo que confirma las condiciones hidráulicas bajo las cuales es probable que ocurran ondas pulsantes. Además, se muestra que todos los tramos tienen β > 1.6, es decir, claramente cerca de la parte superior del rango factible (1 ≤ β ≤ 1.67).

La existencia de caídas agrega cierta complejidad al análisis, pues el flujo ya no es estrictamente unidimensional. Por lo tanto, el presente análisis es solo una aproximación, sujeta a verificación de campo.

12.  CONCLUSIONES

Los fundamentos teóricos y experiencia con la inestabilidad del flujo en canales se examinan con el objetivo de controlar los eventos de ondas pulsantes. Éstos últimos se repiten con relativa frecuencia en ríos canalizados donde el número de Vedernikov ha aumentado, debido a la canalización, por encima del umbral V = 1 (Haga clic encima de la Fig. 18 para ver un video de un evento de onda pulsante). La canalización con secciones transversales rectangulares generalmente aumenta el valor de β, el exponente de la curva de gasto caudal-área, lo que provoca un aumento en el número de Vedernikov por encima del umbral de inestabilidad del flujo (V = 1).

Se muestra que la elección de β, en la etapa de diseño, es de suma importancia en el control de las ondas pulsantes. Varios ejemplos muestran de manera concluyente la existencia de una relación definida entre β y V, a saber, que a medida que la forma de la sección transversal cambia de rectangular a triangular, β disminuye, disminuyendo así el valor de V. Una disminución suficiente de β hará que V se reduzca por debajo del umbral de inestabilidad.

La teoría de propagación de ondas poco profundas revela la existencia de una escala preferencial para la amplificación de perturbaciones superficiales en el régimen inestable (V ≥ 1) (Fig. 8). Por lo tanto, el criterio de Vedernikov puede no ser suficiente para producir ondas pulsantes en todos los casos. Esto último puede depender de las condiciones de frontera aguas arriba, las cuales son probablemente de naturaleza estocástica. Se sugiere la provisión de un difusor de momento. El difusor está diseñado para atenuar las ondas pulsantes en el lugar donde se originan, es decir, en o cerca de la entrada de la canalización. Se recomiendan análisis y ensayos de laboratorio para llevar el concepto de difusor de momento a la etapa de desarrollo.

La metodología desarrollada en este documento se ha aplicado a dos ríos canalizados en La Paz, Bolivia, donde se ha documentado que grandes eventos de ondas pulsantes se repiten con relativa frecuencia. El análisis confirma que en donde se han producido ondas pulsantes en estos ríos canalizados, lo han hecho bajo β > 1.6 y V > 1. Los resultados confirman la promesa del análisis de β en el diseño hidráulico de ríos canalizados con el objetivo de controlar ondas pulsantes.

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SMGIR

Fig. 18  Evento de ondas pulsantes registrado en el río Huayñajahuira, el 30 de abril de 2019.

RECONOCIMIENTOS / AUTORES

Este estudio es una contribución a la solución del problema de las ondas pulsantes en La Paz, Bolivia. Los datos de campo fueron proporcionados por la Secretaría Municipal de Gestión Integral de Riesgos SMGIR (Secretaría Municipal para la Gestión Integral de Riesgos) de la ciudad de La Paz. Victor Miguel Ponce es profesor de ingeniería civil en la Universidad Estatal de San Diego, California. Beatriz Choque Guzmán es ingeniera hidráulica del SMGIR. Queremos expresar nuestro agradecimiento a Mariel Rivera, ingeniera civil con SMGIR, por su continuo apoyo y aliento.

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