1.  INTRODUCCIÓN

En el análisis de flujos de superficie libre, el modelador frecuentemente recurre a simplificaciones de las ecuaciones completas, en interés de la practicidad y/o el mejor tratamiento matemático. Por lo tanto, no es sorprendente que a pesar de la tendencia percibida hacia la sofisticación computacional, los modelos simplificados de flujo de superficie libre continúen atrayendo la atención de investigadores y profesionales. En la práctica, el modelado demuestra ser tanto un arte como una ciencia, una dualidad que requiere un compromiso juicioso entre la precisión alcanzable y el uso de recursos. Esta dualidad explica la diversidad en los enfoques de modelado de flujo de superficie libre.

El modelo de onda difusiva está bien establecido en la literatura [Hayami, 1951; Lighthill y Whitham, 1955; Cunge, 1969; Dooge, 1973]. Sin embargo, su capacidad para simular el comportamiento inercial aún no se ha dilucidado completamente. Como se muestra aquí, bajo ciertos supuestos, se puede derivar una ecuación generalizada de onda difusiva a partir de las ecuaciones completas de continuidad y movimiento, es decir, las ecuaciones de flujo en aguas poco profundas [Liggett, 1975]. Este modelo de onda difusiva difiere de la analogía de difusión de Hayami [Hayami, 1951] en que el primero incluye inercia mientras que el segundo no. Esto califica al modelo generalizado como un modelo de onda difusiva con efectos inerciales [Ponce, 1986]. Se prevéen aplicaciones de la teoría de ondas difusivas generalizadas tanto en el modelado analítico como numérico, que van desde la teoría lineal de los sistemas hidrológicos [Dooge, 1973] hasta las estrategias para el modelado computacional del flujo bidimensional de superficie libre en planta [Ponce y Yabusaki, 1981].

2.  DESARROLLO TEÓRICO

El desarrollo teórico del enfoque de las ondas difusivas para el flujo no permanente en superficie libre se remonta a Deymie [1938], Hayami [1951], Lighthill y Whitham [1955] y Dooge [1973]. Siguiendo a Lighthill y Whitham [1955], el análisis de una analogía linearizada de la ecuación de continuidad aplicable a un canal de ancho unitario es:

ht + uohx + houx = 0

(1)

en la cual los subíndices x y t denotan diferenciación con respecto al espacio y el tiempo, respectivamente, y el subíndice o denota un valor de referencia, ya sea profundidad de flujo h o velocidad media u. La analogía linearizada de la ecuación de movimiento [Lighthill y Whitham, 1955], asumiendo la fricción de Chézy, es la siguiente:

2u       h ut + uoux + ghx + gSo ( ____ - ____) = 0                                         uo     ho

(2)

en la cual g = aceleración de la gravedad y S_o = pendiente de fondo.

El rol de los términos inerciales en la descripción de la difusión de la escorrentía puede analizarse mediante un procedimiento similar al utilizado por Ponce y Simons [1977]. En consecuencia, la Ec. 2 se reformula de la siguiente manera:

2u      h aut + buoux + ghx + gSo ( ____ - ____) = 0                                             uo     ho

(3)

en la cual las variables de seguimiento a y b pueden tomar valores de 0 ó 1, dependiendo si los términos de inercia están excluidos o no en la formulación.

3.  ECUACIÓN DE ONDA DIFUSIVA CON INERCIA

Sistema hiperbólico

La ecuación de onda difusiva con inercia se obtiene diferenciando la Ec. 1 con respecto a x, la Ec. 1 con respecto a t, y la Ec. 3 con respecto a x. La combinación de las ecuaciones resultantes en una ecuación de segundo orden en la profundidad de flujo conduce a la siguiente ecuación:

a + b                             a ht + 1.5 uohx  =  (1 - b F 2 )νhxx  -  ( _______ ) F 2 νhxt  -  ( ______)νhtt                                                              uo                              gho

(4)

en la cual los subíndices dobles se refieren a doble diferenciación. En la Ec. 4, ν es la difusividad hidráulica no inercial basada en el flujo de referencia [Hayami, 1951]:

uoho ν = ______         2So

(5)

y F = número de Froude del flujo de referencia:

uo F = ________        (gho)1/2

(6)

Se puede demostrar fácilmente que la Ec. 4 es parabólica para el caso especial de a = b = 0, e hiperbólica en el caso contrario, lo que confirma que los sistemas inerciales son de naturaleza hiperbólica. Sin embargo, Ponce y Simons [19771 han demostrado que los flujos en aguas poco profundas son débilmente hiperbólicos, con la onda secundaria (es decir, la asociada con la característica C ^-) manifestando un alto grado de disipación a través de una amplia gama de números de onda adimensionales [Abbott, 1979]. Tal sistema mecánico es fácilmente susceptible de conversión a una analogía parabólica, la cual tiende a propagarse en una sola dirección característica (C ⁺).

Analogía parabólica de un sistema hiperbólico

Para derivar la ecuación generalizada de onda difusiva, se deriva primero una analogía parabólica del sistema hiperbólico. Con este fin se diferencia la Ec. 4 con respecto al espacio y con respecto al tiempo, despreciando los términos de tercer orden. Las ecuaciones de segundo orden resultantes se sustituyen en el lado derecho de la Ec. 4 para obtener la siguiente ecuación:

ht + 1.5 uohx = [(1 + b F 2) + 1.5 (a + b) F 2 - 2.25 a F 2 ] νhxx

(7)

La Ecuación 7 es de tipo parabólica, describiendo convección y difusión. El lado izquierdo de la Ec. 7 describe la convección de la profundidad de flujo con una celeridad de onda c = 1.5u_o, aplicable a un canal de ancho unitario gobernado por la fricción de Chezy. El lado derecho describe la difusión de la profundidad de flujo con una difusividad hidráulica dependiente del número de Froude. Esto califica a la Ec. 7 como una ecuación generalizada de onda difusiva que incluye efectos inerciales (en su descripción de la difusión de la escorrentía). Por consiguiente, la difusividad de la Ec. 7 puede denominarse apropiadamente difusividad hidráulica inercial.

Al excluir, o incluir, los términos de inercia, la Ec. 7 se especializa en los siguientes modelos: (1) no inercial, (2) inercial convectivo, (3) inercial local, e (4) inercial total. El modelo no inercial se obtiene especificando a = b = 0 en la Ec. 7 [Hayami, 1951; Cunge, 1969]:

en la cual ν es la difusividad hidráulica no inercial, es decir, la Ec. 5. El modelo inercial convectivo se obtiene estableciendo a = 0 y b = 1 en la Ec. 7 [Ponce y Simons, 1977]:

en la cual [1 + 0.5 F ²]ν es la difusividad hidráulica que incluye sólo la inercia convectiva. El modelo inercial local se obtiene estableciendo a = 1 y b = 0 en la Ec. 7 [Ponce y Yabusaki , 1981]:

en la cual [1 - 0.75 F ² ]ν es la difusividad hidráulica que incluye sólo la inercia local. El modelo inercial completo se obtiene estableciendo a = 1 y b = 1 en la Ec. 7 [Dooge, 1973]:

en la cual [1 - 0.25 F ² ]ν es la difusividad hidráulica inercial total.

Una ecuación generalizada que comprenda los cuatro modelos se puede expresar de la siguiente manera:

en la cual α = 0 para el modelo no inercial, α = -0.5 para el modelo inercial convectivo, α = 0.75 para el modelo inercial local, y α = 0.25 para el modelo inercial total.

La difusidad hidráulica del modelo inercial total depende del número de Froude, y disminuye con un aumento del número de Froude en el rango de 0 a 2. Suponiendo un canal de ancho unitario y fricción de Chezy, su número de Froude neutro (es decir, el número de Froude para el cual desaparece la difusividad hidráulica) es F = 2, que es igual al de las ecuaciones completas [Lighthill y Whitham, 1955; Ponce y Simons, 1977].

La difusividad hidráulica del modelo no inercial es independiente del número de Froude, lo cual limita el modelo no inercial a flujos con un número de Froude bajo. Por lo tanto, para números de Froude altos, el modelo no inercial tiende a sobrestimar la difusividad hidráulica. La difusividad hidráulica del modelo inercial convectivo depende del número de Froude y aumenta con un aumento de éste. La difusividad hidráulica del modelo inercial local también depende del número de Froude, disminuyendo con un aumento de éste en el rango de 0 a (4/3)^0.5. Su número de Froude neutral es F = (4/3)^0.5 = 1.15.

Se observa que los modelos convectivo inercial (α = - 0.5) e inercial local (α = 0.75) tienen un comportamiento opuesto con respecto a la difusividad hidráulica. Cuando se combinan, el modelo inercial completo resultante tiene α = 0.25, valor que está más cerca del modelo no inercial (α = 0) que los modelos convectivos o locales. Por lo tanto, el modelo no inercial se aproxima más a la difusividad hidráulica del modelo inercial completo. Por ejemplo, para un canal con u_o = 1 ms^-1, h_o = 1 m, y pendiente de fondo S_o = 0.0005, el número de Froude es F = 0.32 y la difusividad hidráulica no inercial (Ec. 5) es igual a 1000 m²s^-1. La difusividad inercial convectiva (Ec. 9) es igual a 1050 m²s¹. La difusividad inercial local (Ec. 10) es igual a 925 m²s^-1. La difusividad inercial total (Ec. 11) es 975 m²s^-1.

4.  RESUMEN Y CONCLUSIONES

Se deriva una ecuación generalizada de onda difusiva sobre la base de las analogías lineales de las ecuaciones completas de continuidad y movimiento del flujo en superficie libre. Las especializaciones de esta ecuación conducen a los siguientes cuatro tipos de modelo de onda difusiva, dependiendo de si los términos de inercia (local y convectiva) están excluidos o incluidos, uno por uno, en la formulación: (1) inercial total, (2) inercial local, (3) inercial convectivo, y (4) no inercial.

El análisis de estos modelos revela diferencias sustanciales en su comportamiento, particularmente con respecto a la dependencia de la difusividad hidráulica del número de Froude. Los modelos inercial total e inercial local tienen números de Froude neutros, mientras que los modelos convectivo y no inercial no lo tienen. Además, el número de Froude neutro del modelo inercial total bajo fricción de Chezy es el mismo que el que corresponde a las ecuaciones completas (F = 2). Para flujos con un número de Froude bajo, se muestra que el modelo no inercial es una buena aproximación al modelo inercial total. Se concluye que el modelo no inercial es una mejor aproximación al modelo inercial total que los modelos local o convectivo.

APÉNDICE I.  BIBLIOGRAFÍA

Abbott, M. B. 1979. Computational Hydraulics, 324 pp., Pitman. London.

Cunge. J. A. 1969. On the subject of a flood propagation computation method (Muskingum method), J. Hydraul. Res., 7(2), 205-230.

Deynne, P. 1938. Propagation d'une intumescence allongée (probleme aval), Appl. Mech. Proc. Int. Congr., 5th, 537-544, .

Dooge, J. C. I. 1973. Linear theory of hydrologic systems, U.S. Dep. Agric. Tech. Bull., 1469, 327 pp.,.

Hayami, S. 1931. On the propagation of flood waves, Bull Disaster Prev. Res. Inst., Kyoto Univ., 1-16.

Liggett, J. A. 1975. Basic equations of unsteady flow, in Unsteady Flow in Open Channels, vol. I, edited by K. Mahmood and Yevjevich. pp. 29.02. Water Resources Publications, Fort Collins, Colo.

Lighthin, M. J., y G. B. Whitham. 1935. On kinematic waves, I, Flood movement in long rivers, Proc. Soc. London, Ser. A, 229, 281-316.

Ponce. V. M. 1986. Diffusion wave modeling of catchment dynamics. J. Hydraul. Eng., 112(8), 716-727.

Ponce, V. M., y D. B. Simons. 1977. Shallow wave propagation in open channel flow, J. Hydraul. Div., Am. Soc. Civ. Eng., 103(HY11). 1461-1476.

Ponce, V. M., y S. Yabusaki. 1981. Modeling circulation in depth-averaged flow, J. Hydraul. Div., Am. Soc. Civ. Eng., 107(HY11). 1501-1518.