LA ESENCIA DEL MÉTODO DE PONCE Y SIMONS (1976)


Víctor M. Ponce

03 de julio de 2026

En este artículo explicamos cuál es la esencia del trabajo de Ponce y Simons de 1976. El análisis mencionado aplica la teoría de la estabilidad lineal al conjunto de ecuaciones que gobiernan el movimiento del flujo en canales abiertos. Las ecuaciones son las denominadas de Saint Venant, las cuales son expresiones analíticas de los principios de conservación de masa y movimiento. Las conclusiones se refieren a la magnitud de la celeridad y atenuación de varios tipos de ondas en aguas poco profundas, expresadas como una función del número de Froude del flujo uniforme permanente y un número de onda adimensional el cual describe el componente no permanente del movimiento.

Con el fin de proporcionar una forma conveniente de tener en cuenta explícitamente los diversos modelos de onda, la Ec. 9 del artículo original de 1976/1977 queda redefinida como:

  l        ∂u'          auo      ∂u'             ∂d'                            u'           d'
____  _____  +   _____  _____  +  p  _____  +  k So   ( 2  _____  -  _____ )  =  0
  g       ∂t             g        ∂x               ∂x                           uo          do
(10)

en el cual l, a, p, y k son números enteros y pueden tomar valores de 0 a 1 solamente, dependiendo de cuáles términos de la Ec. 9 se utilicen para describir el movimiento.

Según la forma habitual de los cálculos de estabilidad lineal, las ecuaciones de Saint Venant deben satisfacer el flujo no perturbado para el cual u = uo; d = do; y τ = τo, así como el flujo perturbado para el cual u = uo + u' ; d = do + d' ;  y τ = τo + τ'  (7). El superíndice en las variables de flujo representa una pequeña perturbación del flujo uniforme permanente. Por lo tanto, todos los términos cuadráticos de las componentes fluctuantes pueden despreciarse debido a un razonamiento de orden de magnitud.

La solución para una pequeña perturbación se postula en la siguiente forma exponencial:

  d'           
____  =  d*  e i (σ* x*  -  β* t* )
 do                         		(11)

en la cual d' es una pequeña perturbación a do; d* es una función adimensional de amplitud de profundidad; σ* es un número de onda adimensional, β* es un factor de propagación adimensional complejo, y x* and t* son coordenadas espaciales y temporales adimensionales tales que:

               2 π      
σ*  =    ( _____ )  Lo
                 L        
(12)

               2 π       Lo
β*R  =  ( _____ ) _____
                T         uo
(13)

β*I = factor de propagación de amplitud (14)

            x
x*  =  _____
           Lo
(15)

              uo
t*  =  t  _____
              Lo
(16)

en la cual L = longitud de onda de la perturbación; y T = período. El valor Lo = longitud horizontal en la cual el flujo uniforme permanente desciende (pierde) una altura igual a su profundidad, definida como Lo = do /So. La definición de esta variable adimensional constituye la primera esencia del método. La celeridad adimensional de la perturbación viene dada por:

            L / T           β*R
c*  =  ________ =  _______
             uo               σ*
(17)

La atenuación de la onda sigue una ley exponencial en la cual la amplitud en un tiempo dado t = amplitud inicial en el tiempo to multiplicada por (e β*I t* ), en la cual t* = (t - to) uo / Lo. Cuando comparamos las amplitudes de onda después de un período de propagación, el valor de t* es t* = T uo / Lo, o igualmente, t* = 2 π / | β*R |. El decremento logarítmico δ se define como sigue: δ = β* T u o / Lo, o  δ = 2 π β*I / | β*R. El valor de δ es una medida de la velocidad a la que el componente no permanente del movimiento cambia con la propagación. Para δ positivo, se produce amplificación; para δ negativo, el movimiento (no permanente) se atenúa y eventualmente se disipa.

La profundidad de perturbación está asociada con una velocidad de perturbación de la forma:

  u'           
____  =  u*  e i (σ* x*  -  β* t*)
 uo                         		(18)

en la cual u* es una función adimensional de amplitud de velocidad. La sustitución de las Ecs. 11 y 18 en las Ecs. 4 y 10 lleva, respectivamente, a lo siguiente:

      
σ* u*  +  (σ*  -  β* ) d*  =  0
  		(19)

      
[ 2k  +  i Fo2 (α σ*  -  l β* ) ] u*  +  (i p σ*  -  k ) d*  =  0
  
(20)

en la cual:

              uo 2
Fo2  =  ______
             g do 		(21)

Las ecuaciones 19 y 20 constituyen un sistema homogéneo de ecuaciones lineales con las incógnitas u* and d*. Para que la solución no sea trivial, el determinante de la matriz de coeficientes debe anularse. Esta condición constituye la segunda esencia del método. Por lo tanto:

      
i l β* 2 Fo2  -  i σ*2 (p  - a Fo2 )  +  3 k σ*  -  2 k β* -  i σ* β* (l + a) Fo2  = 0
  
(22)

La Ec. 22 es la ecuación característica que gobierna la propagación de ondas de pequeña amplitud. En el tratamiento del artículo original de Ponce y Simons (1976) se realizan sendas aproximaciones para la formulación de los diversos modelos de ondas considerados.

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