1.  INTRODUCCIÓN

La atenuación de las ondas en los canales prismáticos a menudo se atribuye a la fricción del fondo. Si bien la fricción, sin duda, juega un papel principal, de ninguna manera es el único mecanismo responsable de la atenuación de las ondas. Esto se ejemplifica con la conocida teoría de las ondas cinemáticas, que establece que, si bien las ondas cinemáticas se rigen por la fricción del fondo, no se atenúan.

El objetivo de este artículo es esclarecer los mecanismos físicos responsables de la atenuación de las ondas en el flujo en canales abiertos. Siguiendo el enfoque de Ponce y Simons (4), este artículo se centra en la identificación del término o grupo de términos que harán que se disipe una onda de flujo en superficie libre. Las conclusiones pueden resultar de interés para los investigadores e ingenieros que practican en el área de flujo no permanente en canales.

2.   ECUACIONES DE GOBIERNO

Las ecuaciones que gobiernan el flujo no permanente unidimensional en canales prismáticos de sección transversal rectangular, expresadas en términos de flujo por unidad de ancho, son (2):

Ecuación de continuidad:

∂d            ∂u           ∂d _____  + d ____  + u ____  = 0   ∂t             ∂x           ∂x

(1)

y ecuación de movimiento:

1       ∂u            u       ∂u           ∂d            ____  _____  +   ____  _____  +   _____  +   Sƒ  - So  =  0   g       ∂t            g       ∂x            ∂x

(2)

en las cuales u = velocidad media; d = profundidad de flujo; g = aceleración de la gravedad; S_ƒ = pendiente de fricción, S_o = pendiente de fondo; x = espacio; y t = tiempo. En el flujo uniforme, S_ƒ = S_ƒ = S_o, y S_ƒ está relacionado con el esfuerzo cortante de fondo τ_o de la siguiente manera (1):

τo            Sƒ  =  ______             γ do

(3)

en la cual γ = densidad del agua; y d_o = profundidad del flujo de equilibrio.

Las ecuaciones de perturbación correspondientes a las Ecs. 1 y 2, respectivamente, son (3):

∂d'             ∂u'              ∂d' _____  + do _____  + uo _____  = 0   ∂t               ∂x               ∂x

(4)

1       ∂u'           uo     ∂u'           ∂d'                τ'o       d' ____  _____  +   ____  _____  +   _____  + So ( ____  - ____ )  =  0   g       ∂t            g       ∂x            ∂x                 τo       do

(5)

en las cuales, generalmente, la variable ƒ ha sido expresada como ƒ = ƒ_o + ƒ'; en la cual ƒ_o = valor de equilibrio; y ƒ' = pequeña perturbación de ƒ. Para hacer las Ecs. (4) y (5) matemáticamente resoluble, el esfuerzo cortante de fondo está relacionado con la velocidad media. En general:

1            τ  =  ___ ƒρu 2          8

(6)

en la cual ƒ = factor de fricción de Darcy-Weisbach y, ρ = densidad del agua. Dada la Ec. 6, la Ec. 5 se convierte en:

1       ∂u'           uo     ∂u'           ∂d'                  u'       d' ____  _____  +   ____  _____  +   _____  + So ( 2 ___  - ___ )  =  0   g       ∂t            g       ∂x            ∂x                   uo      do

(7)

Con el fin de realizar un seguimiento de todos los términos en las Ecs. 4 y 7, se escriben como sigue:

∂d'                ∂u'                 ∂d' r _____  + v do _____  + w uo _____  = 0      ∂t                  ∂x                  ∂x

(8)

e       ∂u'         a uo    ∂u'              ∂d'                     u'       d' ____  _____ +   _____  _____  +   p _____  + k So ( 2 ___  - ___ )  =  0   g       ∂t             g       ∂x              ∂x                      uo      do

(9)

en las cuales los coeficientes r, v, w, e, a, p y k pueden tomar valores de 1 o 0, dependiendo de si se considera o se desprecia su término asociado en el análisis. El coeficiente r afecta el término de velocidad de crecida en la ecuación de continuidad, mientras que v y w afectan los términos de almacenamiento del prisma y cuña, respectivamente. El coeficiente e afecta el término de aceleración local, a el término de aceleración convectiva (advectiva), p el término de gradiente de presiones, y k el término cinemático (fricción y pendiente del fondo).

La transformación del sistema de Ecs. 8 y 9 al dominio de frecuencia se logra buscando una solución en forma sinusoidal de manera que (4):

d'            ____ = d* exp [i (σ* x* - β* t*)]  do

(10)

u'            ____ = u* exp [i (σ* x* - β* t*)]  uo

(11)

en las cuales d_* y u_* = funciones adimensionales de amplitud de profundidad y velocidad, respectivamente; σ_* = número de onda adimensional, definido como σ_* = (2π/L)(d_o/S_o); y β_* = un factor de propagación complejo, con L = longitud de onda y i = (-1)^1/2.

(v σ*) u* + (w σ* - r β*) d* = 0

(12)

[(2 k + i Fo2 (a σ* - e β*)] u* + (i p σ* - k) d* = 0

(13)

en las cuales F_o = número de Froude del flujo de equilibrio, definido como F_o = u_o / (gd_o)^1/2. Las Ecs. 12 y 13 constituyen un sistema homogéneo de ecuaciones lineales. La condición no trivial para el determinante de la matriz de coeficientes produce la siguiente ecuación característica:

(er Fo2) β*2 + [-σ* (ar + ew) Fo2 + 2ikr ] β* - [σ*2 (pv - aw Fo2) + iσ*k (v + 2w)] = 0

(14)

Una observación detallada de la Ec. 14 revela que si k = 0, todos los términos imaginarios desaparecen, es decir, las ondas de gravedad no están sujetas a atenuación. Por otro lado, si e = a = p = 0, la ecuación también puede expresarse únicamente en términos reales. Las ondas cinemáticas, por lo tanto, tampoco están sujetas a atenuación. La atenuación se produce por la existencia de términos reales e imaginarios en la Ec. 14, es decir, k = l, y e, a o p son iguales a 1

La Ecuación 14 es una ecuación algebraica de segundo orden con términos imaginarios. Aquí su solución se lleva a cabo en dos etapas: primero, despreciando la aceleración local, e = 0; y en segundo lugar, considerando la solución completa.
220512 11:50

3.   SUPRESIÓN DE LA ACELERACIÓN LOCAL

Con e = 0, la Ec. 14 se reduce a:

r (-aσ*Fo2 + 2ik) β* - [σ*2 (pv - awFo2) + iσ*k (v + 2w)] = 0

(15)

Resolviendo para β_*:

v                   2w                       p           w                                                v           σ* ( ___ ) { ( 1 + ____ ) 2k2 - [ ( ___ ) - ( ___ ) Fo2 ] a2σ*2Fo2 } - iσ*2 ( ___ ) k ( 2p + aFo2 )                     r                      v                       a            v                                                r β* = __________________________________________________________________________________________________                                                        4k2 + a2σ*2Fo2

(16)

Las características de propagación son la celeridad adimensional c_*, el decremento logarítmico, δ, definido como sigue (4):

c           β*R c* = ______ = ______            uo          σ*

(17)

y

2π β*l δ  =  ________           | β*R |

(18)

en las cuales c = celeridad de la onda; β_*R = parte real de β_*; y β_*l = parte imaginaria de β_*. Por lo tanto:

v                    2w                      p           w          ( ___ ) { ( 1 + _____ ) 2k2 - [ ( ___ ) - ( ___ ) Fo2 ] a2σ*2Fo2 }              r                      v                       a            v c* = ______________________________________________________________                                         4k2 + a2σ*2Fo2

(19)

y

2πσ*k (2p + aFo2) δ =  -  _____________________________________________________                        2w                       p            w             ( 1 + _____ ) 2k2 - ([ ( ___ ) - ( ___ ) Fo2 ] a2σ*2Fo2                         v                         a            v

(20)

La atenuación de la onda es causada por el valor distinto de cero de δ. Por lo tanto, de la Ec. 20, está claro que k = 1 es a condición necesaria para la atenuación de la onda. Sin embargo, si p = a = 0, no habrá atenuación de onda, independientemente de k. Por lo tanto, la atenuación de la onda ocurrirá cuando k = p = l, o k = a = l. Se concluye que, en ausencia de aceleración local, una onda se atenúa debido a la interacción del término cinemático con el gradiente de presión o el término de aceleración convectiva, o ambos.

4.   SOLUCIÓN COMPLETA

La solución de la Ec. 14 conduce a:

1       a      w               k                           p          v       1          k β*  =  σ* [ ___ ( ___ + ___ ) - iζ ( ___ ) ] + σ* { [ ( ___ ) ( ___ ) ____ - ( ___ )2 ζ 2                   2       e       r                e                          e          r       Fo2       e      1      a      w                       k          v       w           k          a + ___ ( ___ - ___ )2 ] + iζ [ ( ___ ) ( ___ + ___ ) - ( ___ ) ( ___ ) ) ] }1/2      4      e       r                       e          r        r            e          e

(21)

en la cual:

1 ζ  =  ________          σ* Fo2

(22)

está relacionado con el número de flujo cinemático de Woolhiser y Liggett (5).

Cuando C₁ = v / r ; C₂ = w / r ; C₃ = a / e ; C₄ = p / e ; y C₅ = k / e ; La Ec. 21 se reduce a:

1                                                             1                     1 β*  =  σ* [ ___ ( C3 + C2 ) - i ζ C5 ] + σ* [ (C1 C4) ____ - (C5 ζ)2 + ___ ( C3 - C2 )2                   2                                                            Fo2                   4 + i ζ C5 (C1 + C2 - C3) ]1/2

(23)

Cuando C₆ = ( C₂ + C₃)/2; C₇ = C₁ C₄; C₈ = (C₅)²; C₉ = ( C₃ - C₂)² /4; and C₁₀ = C₅ ( C₁ + C₂ - C₃); La Ec. 23 se reduce a:

C7 β* = σ* ( C6 - i ζ C5 ) + σ* ( ___ - C8 ζ 2 + C9 + i ζ C10 )1/2                                              Fo2

(24)

Finalmente, cuando A = ( C₇/F_o² ) - C₈ ζ ² + C₉; B = ζ C₁₀; C = ( A + B )^1/2; D = [( C + A )/2 ] ^1/2; y E = [( C - A )/2 ]^1/2; las siguientes raíces de β_* son:

β*1 = σ* ( C6 + D) - i σ* ( ζ C5 - E)

(25)

β*2 = σ* ( C6 - D) - i σ* ( ζ C5 + E)

(26)

y la celeridad adimensional y el decremento logarítmico de las dos componentes de la onda dinámica son:

c*1 = C6 + D

(27)

2π ( ζ C5 - E ) δ1 = - ________________                 | C6 + D |

(28)

c*2 = C6 - D

(29)

2π ( ζ C5 + E ) δ2 = - ________________                 | C6 - D |

(30)

La atenuación de la onda dinámica primaria se caracteriza por δ₁. Hay dos condiciones bajo las cuales δ₁ = 0. Estas son: (1) C₅ = < i>E = 0; y (2) ζC₅ = E. Para C₅ = 0, es necesario que k = 0. Para E = 0, es necesario que C = A, es decir, B = 0, lo que lleva a C ₁₀ = 0, o C₅ = 0. Por lo tanto, para k = 0; y C₅ = E = δ₁ = 0, la onda dinámica primaria no está sujeta a atenuación.

Se puede demostrar que el caso de ζC₅ = E se traduce en la condición de que F _o = 2. La estabilidad neutra de las ondas dinámicas primarias ocurrirá entonces en esta condición. Por lo tanto se concluye, se sigue que para ζC₅ = E, δ₁ = 0.

Se pueden formular condiciones similares para ondas dinámicas secundarias. Para C₅ = E = 0; k y δ₂ = 0, lo que lleva a la conclusión de que las ondas dinámicas secundarias no se atenúan en ausencia de fricción y pendiente del fondo. Las ondas secundarias, en general, sin embargo, se atenúan para todos los números de Froude, como lo indica la Ecuación 30.

5.   RESUMEN

La naturaleza de la atenuación de ondas en canales prismáticos se aclara utilizando las herramientas de la teoría de la estabilidad lineal. Se muestra que la atenuación de las ondas es causada por la interacción del término cinemático (fricción y pendiente del fondo) con el término de aceleración local. Cuando este último está ausente o es insignificante, la atenuación de la onda es causada por la interacción del término cinemático con el gradiente de presiones o la aceleración convectiva, o ambos.

BIBLIOGRAFÍA

1. Henderson, F. M. 1966. Open Channel Flow, The MacMillan Co., New York, N. Y.

2. Liggett, J. A. 1975. Basic Equations of Unsteady Flow, in Unsteady Flow in Open Channels, K. Mahmood, and V. Yevjevich, eds., Water Resources Publications, Fort Collins, Colo.

3. Lighthill. M. J. y G. B. Whitham. 1955. "On Kinematic Waves I. Flood Movement in Long Rivers", Proceedings of the Royal Society of London. A229, 281-316.

4. Ponce, V. M. y D. B. Simons. 1977. "Shallow Wave Propagation in Open Channel Flow", Journal the Hydraulics Division, ASCE, Vol. 103, No, HY12, Proc. Paper 13392, Dec., 1461-1476.

5. Woolhiser, D. A. y J. A. Liggett. 1967 "Unsteady One-Dimensional Flow over a Plane - The Rising Hydrograph", Water Resources Research, Vol. 3, No. 3, 753-771.