1.  INTRODUCCIÓN

Hay tres velocidades características en la hidráulica de canales abiertos: (1) la velocidad media del flujo u, (2) la celeridad relativa de la onda cinemática v, y (3) la celeridad relativa de la onda dinámica w [Ponce y Simons, 1977]. Estas tres velocidades dan lugar a dos relaciones adimensionales independientes: (1) la celeridad relativa adimensional de la onda cinemática c_k = v/u, y (2) la celeridad relativa adimensional de la onda dinámica c_d = w/u. El recíproco de c_d es el número de Froude F = u/w. El número de Vedernikov es la tercera relación, es decir, la relación entre la celeridad relativa de la onda cinemática y la celeridad relativa de la onda dinámica: V = v/w. Un número de Vedernikov V = 1 describe la condición de estabilidad neutra, separando el flujo estable (V < 1) del flujo inestable (V > 1). Durante la propagación, las perturbaciones de la superficie se atenúan en el flujo estable y se amplifican en el flujo inestable [Vedernikov, 1945, 1946; Chow, 1959; Jolly y Yevjevich, 1971].

Los desarrollos recientes en la teoría lineal de la escorrentía superficial [Dooge, 1973; Dooge et al., 1982; Ponce, 1986] han propiciado esta revisión del número de Vedernikov. Junto con la celeridad relativa adimensional de las ondas cinemáticas y dinámicas, se muestra que el número de Vedernikov caracteriza el flujo de superficie libre (Fig. 2). Además, se muestra que el número de Vedernikov tiene un papel significativo en la extensión del concepto de difusividad hidráulica [Hayami, 1951] al dominio de las ondas dinámicas [Ponce y Simons, 1977; Ponce, 1990, 1991]. Esta nueva perspectiva hace posible el modelado dinámico de una cuenca hidrográfica utilizando ondas de difusión e incluyendo efectos de inercia, bajo una amplia gama de valores de fricción y forma de la sección transversal.

Cortesía de A. Gostomelskiy

Fig. 2  V. V. Vedernikov.

2.  EL NÚMERO DE VEDERNIKOV

El número de Vedernikov [Chow, 1959; Jolly y Yevjevich, 1971] se define como sigue:

en la cual x es el exponente del radio hidráulico R en la relación de velocidad media u = f(R), definida como sigue:

en la cual b es el exponente del número de Reynolds R en la ley de fricción: f = α R ^-b y f es el factor de fricción de Darcy-Weisbach. El parámetro b varía en el rango 0-1, con b = 0 aplicable a la fricción turbulenta de Chezy, y b = 1 para el flujo laminar. En la Ec. 1, γ es un factor de forma de la sección transversal definido como sigue:

en la cual R = radio hidráulico, P = perímetro mojado, y A = área de flujo.

El factor de forma γ varía en el rango 0-1, con γ = 0 aplicable a un canal hipotético de radio hidráulico constante (definido aquí como un canal inherentemente estable), y γ = 1 para el caso de un canal hipotético de perímetro mojado constante, comúnmente conocido como canal hidráulicamente ancho.

La Ecuación 3 puede simplificarse considerando un canal de forma arbitraria, en el cual el perímetro mojado es una función del área de flujo. Asumiendo la validez de una función del siguiente tipo: P = k₁A^d, con k₁ y d constantes; entonces la derivada es dP/dA = d (P/A) = d/R. Por lo tanto, en la Ec. 3, γ = 1 - d; y el número de Vedernikov se reformula de la siguiente manera:

El canal inherentemente estable es un canal hipotético en el cual el radio hidráulico es constante, es decir, independiente del área de flujo. Por lo tanto, d = 1, y γ = 0. Dadas las Ecs. 1 y 4, resulta que V = 0, independiente de las condiciones de fricción o el número de Froude; en consecuencia, el flujo es inherentemente estable. Además, para una fricción y pendiente de fondo constantes, la velocidad media del canal inherentemente estable es una constante, independiente del caudal, el área de flujo y el tirante. La forma del canal inherentemente estable ha sido documentada por Liggett [1975].

Craya [1952] ha mejorado la interpretación física del criterio de Vedernikov. Según Craya, el flujo se volverá inestable cuando la celeridad de la onda cinemática (u + v) exceda a la celeridad de la onda dinámica primaria (u + w), es decir, la cual se propaga siempre en dirección aguas abajo [Ponce y Simons, 1977]. Esto se reduce a v > w y, por lo tanto V > 1, confirmando que los criterios de Vedernikov y Craya son equivalentes [Jolly y Yevjevich, 1971].

3.  IMPORTANCIA DE LA RELACIÓN V /F

Siguiendo la Ecuación 4, la relación V/F es igual a x ( 1 - d ). Se observa que el producto del número de Vedernikov V = v/w y la celeridad relativa de la onda dinámica c_d = w/u lleva a V c_d = V /F = v/u = c_k, es decir, a la celeridad relativa de la onda cinemática. Además, dada la Ec. 4, la celeridad relativa de la onda cinemática también se puede expresar como c_k = x ( 1 - d ).

La celeridad relativa de la onda cinemática, o la relación V/F, es significativa porque es la única variable que aparece en el exponente de la curva de gasto (Q versus A). En decir, suponiendo una fórmula de velocidad media del siguiente tipo: u = k R ^x S_o^1/2, en la cual k es el coeficiente de fricción, x tiene el mismo significado que en la Ec. 2, y S_o es la pendiente de fondo. La curva de gasto es Q = u A = k R ^x S_o^1/2 = k A^1+x P ^-x S_o^1/2. Dado que P = k₁ A^d, se deduce que la curva de gasto es Q = α A^β, en la cual α = f ( k, k₁, x, S_o ); y β = 1 + x (1 - d). Además, dada la Ec. 4, β = 1 + (V /F). Entonces, la celeridad de la onda cinemática o velocidad de Seddon [Seddon, 1990] es: u + v = dQ / dA = β (Q /A) = βu; y la celeridad relativa adimensional de la onda cinemática es c_k = v /u = β - 1 = V /F.

4.  EFECTO DE LA FRICCIÓN Y FORMA DE LA SECCIÓN TRANSVERSAL

Para aislar el efecto de fricción, primero se considera un canal hidráulicamente ancho. Esta condición se modela estableciendo d = 0, la cual conduce a: γ = 1. En este contexto, se examinan cuatro casos típicos: (1) laminar, b = 1; (2) mixto laminar-turbulento, b = 1/2; (3) Manning turbulento, b = 1/5; y (4) Chezy turbulento, b = 0. Con d = 0, y b como se definió anteriormente, las Ecs. 2 y 4 conducen a las relaciones V /F que se muestran en la Tabla 1.

Para estudiar el efecto de la forma de la sección transversal, se consideran tres casos: (1) un canal hidráulicamente ancho, con d = 0 y γ = 1; (2) un canal triangular, con d = 1/2 y γ = 1/2: y (3) un canal inherentemente estable, con d = 1 y γ = 0. Se observa que para la mayoría de los canales trapezoidales, d varía en el rango de 0-0.5, es decir, entre las formas del canal hidráulicamente ancho y triangular. Para algunos canales naturales, d puede estar en el rango de 0.5-1, entre las formas del canal triangular e inherentemente estable. Con b correspondiente a las condiciones de fricción turbulentas de Chezy y Manning, y d como se define en este párrafo, las Ecs. 2 y 4 conducen a las relaciones V /F que se muestran en la Tabla 2.

Además, se observa que el número de Froude correspondiente a la estabilidad neutral (para la cual V = 1) es el recíproco de la relación V /F. En efecto, para V = 1, F /V = F_n, es decir, el número de Froude de estabilidad neutra. En el caso del canal inherentemente estable, ya que V = 0, entonces F_n = ∞. Esto confirma la ausencia de la condición de estabilidad neutra en el canal inherentemente estable (es decir, las perturbaciones de flujo se atenúan para todos los números de Froude).

5.  ROL DEL NÚMERO DE VEDERNIKOV EN EL MODELADO DE CUENCAS HIDROGRÁFICAS

Recientemente se ha demostrado que el número de Vedernikov juega un papel importante en el modelado dinámico de cuencas hidrográficas usando ondas de difusión e incluyendo efectos de inercia [Ponce, 1986, 1991]. Para la onda de difusión, la difusividad hidráulica cinemática [Hayami, 1951: Lighthill y Whitham, 1955] se define como sigue:

en la cual q = caudal por unidad de ancho, y S_o = pendiente de fondo. En contraste a (5), la difusividad hidráulica dinámica [Dooge, 1973; Dooge et al., 1982; Ponce, 1991] se define como sigue:

Es claro que, a diferencia de su equivalente cinemático, la difusividad hidráulica dinámica también es una función del número de Vedernikov. Esto permite que la simulación sea sensible al efecto dinámico. De hecho, en la Ec. 6, para V = 1, ν_d = 0, se verifica la ausencia de atenuación o amplificación de onda en la condición de estabilidad neutra, una característica de las ondas dinámicas [Ponce y Simons, 1977] que no puede ser simulada usando la difusividad hidráulica cinemática (Ec. 5). Por otro lado, para flujos pequeños de Froude en canales hidráulicamente anchos: F → 0. Entonces F ² → 0, y dado la Ec. 1, V ² → 0, llegando a través de la Ec. 6 a ν_d → ν_k. Esto confirma la aplicabilidad del modelo de onda de difusión para los caudales en régimen subcrítico [Ponce et al., 1978].

El caso del canal inherentemente estable ilustra aún más el concepto de difusividad hidráulica dinámica. Cuando V → 0, independiente del número de Froude, entonces V ² → 0; y por lo tanto, ν_d → ν_k. El caso V = 0 es el del canal inherentemente estable, en el cual las perturbaciones de las ondas se atenúan debido a la naturaleza intrínsecamente estable de la forma de la sección transversal, independiente del número de Froude, la descarga y el tirante. Esto confirma la observación de que una onda que se propaga en un canal de ancho superior en rápida expansión (con un tirante creciente, de modo que u y R son casi constantes y, por lo tanto, V → 0, y ν_d → ν_k) se atenuará regida por la difusividad hidráulica cinemática (Ec. 5), independiente del caudal, el área de flujo o el tirante [Ponce y Windingland, 1985].

6.  RESUMEN

El número de Vedernikov es revisado a la luz de una nueva perspectiva de su papel en el modelado dinámico de cuencas hidrográficas utilizando ondas de difusión e incluyendo efectos de inercia. Junto con las celeridades relativas adimensionales de las ondas cinemática y dinámica, se muestra que el número de Vedernikov caracteriza adecuadamente a los flujos inestables de superficie libre. Haciendo eco del trabajo de Craya [1952], el número de Vedernikov se define como la relación entre la celeridad relativa de la onda cinemática y la celeridad relativa de la onda dinámica. Además, se muestra la relación de los números de Vedernikov y Froude V/F para caracterizar adecuadamente a la curva de gasto.

Adicionalmente, se muestra que el número de Vedernikov tiene un rol significativo en la extensión del concepto de difusividad hidráulica [Hayami, 1951] al dominio de las ondas dinámicas [Dooge, 1973; Dooge et al., 1982]. Esta nueva perspectiva hace posible el modelado dinámico de cuencas hidrográficas usando ondas de difusión e incluyendo efectos de inercia [Ponce, 1986, 1990, 1991], bajo una amplia gama de valores de fricción y forma de la sección transversal.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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