1.  INTRODUCCIÓN

Este artículo contrasta las ondas cinemúticas y dinúmicas en el flujo de canal abierto. El objetivo es comprender estos conceptos a fondo, para facilitar su uso mús amplio en la prúctica de la ingeniería. Las ondas cinemúticas y dinúmicas se encuentran cada una en uno de los extremos de la escala de ondas, es decir, el espectro de números de onda adimensional. Las ondas cinemúticas estún en el lado izquierdo (valor pequeño) y las ondas dinúmicas estún en el lado derecho (valor grande). Tomados por sí solos, estos dos conceptos son mutuamente excluyentes; una onda es cinemútica o es dinúmica. Hacia la mitad de la escala, una onda que no es ni cinemútica ni dinúmica puede interpretarse como una onda cinemútica-dinúmica mixta, a falta de un mejor término. La celeridad variable hace que estas ondas sean difusivas, desde ligeramente hasta extremadamente difusivas.

2.  ESCALA DE ONDAS

La "escala" de la onda es lo que determina si una onda es cinemútica o dinúmica. En este contexto, "escala" no se refiere al valor absoluto del número de onda, definido de otra manera como σ = 2π /L, sino mús bien a su valor relativo, o número de onda adimensional , definido como σ_* = 2π (L_o /L). La cantidad L_o es la longitud de referencia del canal, es decir, la distancia horizontal, a lo largo del canal, donde el flujo de equilibrio constante cae una carga igual a su profundidad (Ponce y Simons, 1977).

El efecto del número de onda adimensional es reducir sustancialmente el número de órdenes de magnitud necesarios para el anúlisis. En efecto, la Figura 1 muestra la variación de las celeridades de onda relativas adimensionales c_r* graficadas en sólo seis (6) órdenes de magnitud de números de onda adimensionales σ_*  (0.001 to 1000).

Fig. 1   Celeridad de onda relativa adimensional cr* vs número de onda adimensional σ*.

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3.  ONDAS CINEMÁTICAS

Cuadro A.  Para facilitar la comprensión de esta sección, definimos los siguientes términos: Profundidad de flujo de equilibrio do Velocidad de flujo de equilibrio uo Pendiente del fondo del canal So Longitud de onda (de la perturbación) L Número de onda σ = 2π / L Longitud del canal de referencia Lo = do /So Número de onda adimensional σ* = 2π (Lo /L) Celeridad de onda (velocidad de la perturbación) c Celeridad relativa de la onda (celeridad de la onda relativa al flujo) cr = c - uo Celeridad de onda relativa adimensional cr* = cr /uo

La Figura 1 muestra la grúfica de las celeridades de onda adimensionales relativas a lo largo del espectro de números de onda adimensionales, desde muy pequeñas, correspondientes a ondas cinemúticas (σ_* = 0.001), hasta muy grandes, correspondientes a ondas dinúmicas (σ_* = 1000) (Ponce y Simons, 1977).

Nótese que a lo largo del espectro de números de onda adimensionales σ_*, la celeridad de onda relativa adimensional c_r* es una constante e igual a c_r* = 0.5 solo para el número de Froude F = 2. Notamos específicamente que esta condición de flujo corresponde a la fricción de Chezy en un canal hidrúulicamente ancho (véase Cuadro B below) (Ponce y Simons, 1977). Ésta es la condición física para la cual todas las escalas de onda viajan con la misma celeridad, lo que representa el inicio de la estabilidad/inestabilidad del flujo: estabilidad para F < 2, e inestabilidad F > 2. Nótese que la condición de flujo para la cual F = 2 se conoce como flujo neutralmente estable . Ademús, se puede demostrar que la condición del número de Froude F = 2 es equivalente al número de Vedernikov V = 1, reforzando así los hallazgos del anúlisis de propagación de ondas (Ponce, 1991).

Fig. 2   Celeridad de onda relativa adimensional cr* vs número de onda adimensional σ*.

Un examen mús detallado de la Figura 1 revela que las ondas cinemúticas estún posicionadas a la izquierda de la figura, de manera asintótica al valor constante c_r* = 0.5 en el extremo izquierdo de la figura, la cual corresponde a la celeridad relativa adimensional de la onda cinemútica para la fricción de Chezy en un canal hidrúulicamente ancho ( Ponce, 2014).

El concepto de celeridad de onda cinemútica, que es similar al de celeridad de onda de inundación, se debe a Seddon (1900), quien fue el primero en derivar la fórmula que lleva su nombre. En el siguiente recuadro se incluyen expresiones relacionadas.

Cuadro B.  Expresiones para la celeridad de onda cinemútica, celeridad de onda de Seddon o celeridad de onda de inundación. Caudal de descarga Q Área de flujo A Velocidad media de flujo: uo = Q / A Nivel de la superficie y Ancho superior del canal T Diferencial de úrea de flujo: dA = T dy Ecuación de la curva de gasto caudal-úrea : Q = α Aβ Pendiente de la curva de gasto caudal-úrea: dQ / dA = α β A β - 1 = β Q / A = β uo Celeridad de Seddon, o celeridad de onda de inundación c = dQ / dA = (1/T ) (dQ / dy) = β uo Valor de β aplicable para la fricción de Chezy en canales hidrúulicamente anchos: β = 1.5 Celeridad relativa de la onda de inundación (para la fricción de Chezy hidrúulicamente amplia): cr = 1.5 uo - uo = 0.5 uo Celeridad de onda cinemútica relativa adimensional (para la fricción de Chezy hidrúulicamente ancho): cr* = 0.5

Deseamos reiterar que las ondas cinemúticas existen, aunque admitúmoslo sólo como una aproximación conveniente, típicamente en el lado izquierdo del espectro adimensional de números de onda. Corresponden a una gran clase de ondas de inundación, particularmente aquéllas que estún sujetas a muy poca (o, de lo contrario, insignificante) atenuación. También pueden aparecer en el modelado de flujo sobre el terreno, donde las pendientes del fondo predominantes son lo suficientemente grandes como para desencadenar una condición de flujo cinemútico y las ondas cinemúticas resultantes (Woolhiser y Liggett, 1967). El trabajo temprano de Seddon (1900), seguido por el de Lighthill and Whitham (1955), han sido hitos importantes en el avance de las aplicaciones de las ondas cinemúticas en la ingeniería hidrúulica e hidrológica.

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4.  ONDAS DINÁMICAS

Las ondas dinúmicas se encuentran a la derecha del espectro de números de onda adimensionales, y las celeridades de onda relativas adimensionales son constantes a lo largo de los números de onda adimensionales y son una función del número de Froude del flujo de equilibrio, correspondiendo celeridades menores a números de Froude mayores, y viceversa; por ejemplo, c_r* = 1 se asocia con F = 1; y c_r* = 100 se asocia con F = 0.01. Claramente, la celeridad de onda dinúmica es de hecho una función del número de Froude del flujo de equilibrio, una situación que no era el caso de la onda cinemútica.

Cuadro C.  Para calcular los valores de las celeridades de las ondas dinúmicas, definimos los siguientes términos: Profundidad de flujo de equilibrio do Velocidad de flujo de equilibrio uo Aceleración gravitacional g Celeridad de onda dinúmica o celeridad de Lagrange (dos componentes) cd = uo ± (g do)1/2 Celeridad relativa dinúmica de la onda (relativa al flujo) crd = ± (g do)1/2 Celeridad de onda dinúmica relativa adimensional cdrd = ± (g do)1/2 / uo Número de Froude del flujo de equilibrio Fo = uo / (g do)1/2 Celeridad de onda dinúmica relativa adimensional cdrd = 1 / Fo

La Figura 1 muestra los valores de las celeridades de onda dinúmicas relativas adimensionales c_drd que se encuentran a la derecha de la figura. Por ejemplo, utilizando la última definición de c_drd (etiquetada con 8 en el Cuadro C anterior), se deduce que: (a) para F_o = 0.01, c_drd = 100; (b) para F_o = 0.02, c_drd = 50; y (c) for F_o = 0.04, c_drd = 25; y así sucesivamente. ////////////////////////////////////

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24/09/01 9.30 ///////////////////////////////////

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We have shown that Figure 1 correctly depicts the values of dimensionless relative dynamic, or Lagrange, celerities. Thus, we show that Figure 1 encompasses both kinematic and dynamic waves in the same figure. Reiterating, dynamic waves lie to the right of the dimensionless wavenumber σ_*, wherein the dimensionless relative dynamic wave celerities are a function of the Froude number of the equilibrium flow.

According to Ponce and Simons (1977), the attenuation of a dynamic wave is zero, i.e., dynamic waves are not subject to attenuation (i.e., wave dissipation), at least in a one-dimensional analysis. This conclusion follows directly from Fig. 1, because in the applicable dynamic range, toward the extreme right of the figure, the wave celerity is shown to be constant and, thus, independent of scale. This conclusion confirms that a dynamic wave is not subject to attenuation. Thus, a dynamic wave is a comparatively small surface wave, featuring a correspondingly small dimensionless wavenumber, traveling at a dimensionless relative celerity which is the reciprocal of the Froude number of the equilibrium flow, and it is not subject to attenuation.

Dynamic waves do exist, admittedly only as a convenient approximation, typically on the right side of the dimensionless wavenumber spectrum. They correspond to a class of relatively short surface waves, particularly those that are subject to very little or negligible attenuation.

Fig. 1   Dimensionless relative wave celerity cr* vs dimensionless wavenumber σ*.

Fig. 2   Logarithmic decrement -δ vs dimensionless wavenumber σ*  for F < 2.

Fig. 3   Logarithmic increment +δ vs dimensionless wavenumber σ*  for F > 2.

Therefore, mixed kinematic-dynamic waves are subject to varying attenuation, from mild to very strong, with the amount of attenuation varying with the value of dimensionless wavenumber, relative to the location of the point of inflection in the celerity-wave number curve. In certain cases, the mixed kinematic-dynamic wave may be so strongly dissipative as to defy calculation altogether. This predicament was admirably described by Lighthill and Whitham (1955) in their seminal treatise on kinematic waves.

In closing, we wish to point out that our "mixed kinematic-dynamic waves" have been, for the past nearly 50 years, simply referred to as "dynamic waves", thereby contributing to the semantic confusion (Fread, 1985).

6.  DIFFUSION WAVES

Having established conclusively that neither kinematic nor dynamic waves attenuate, and conversely, that mixed kinematic-dynamic waves could be subject to very strong attenuation, we feature here another type of intermediate wave, which, as far as the value of dimensionless wavenumber, lies in between kinematic and mixed kinematic-dynamic waves. This wave is properly a kinematic wave with diffusion, to follow Lighthill and Whitham (1955), or, more concisely, a diffusion wave, to follow Ponce and Simons (1977). It is defined by including, in the wave definition, the pressure-gradient term. The latter acts to produce the diffusion, which is patently absent from the kinematic wave proper, as shown in the following table.

Diffusion waves turn out to be more common than either kinematic or mixed kinematic-dynamic waves and, therefore, this helps explain their growing popularity in practical applications. Kinematic waves do not attenuate, and mixed kinematic-dynamic waves may actually attenuate too much. Diffusion waves find their demonstrably best applicability in the routing of flood waves, which typically are subjected to some, but not too much, wave attenuation.

7.  SUMMARY

A review of several relevant types of shallow-water waves in open-channel flow are discussed and compared with regard to their celerity and attenuation properties. These waves are: (1) kinematic waves, (2) dynamic waves, (3) mixed kinematic-dynamic waves, and (4) diffusion waves.

Kinematic waves travel with a constant celerity and are non-diffusive. The constant celerity of kinematic waves has been referred to in the flood routing literature as the 'Seddon celerity'.

Dynamic waves travel with a constant celerity and are non-diffusive. The constant celerity of dynamic waves is referred to as the 'Lagrange celerity', applicable to "short" waves in open-channel flow.

Mixed kinematic-dynamic waves travel with a celerity which varies with the dimensionless wavenumber, and this property gives them the capability to diffuse, i.e., to attenuate or dissipate. In certain cases, these mixed kinematic-dynamic waves may be so strongly dissipative as to defy calculation altogether.

Diffusion waves lie in between kinematic and mixed kinematic-dynamic waves, in terms of relative scale. These waves travel approximately with the Seddon celerity and are shown to be mildly diffusive; therefore, they remain admirably suited to the modeling of flood waves.

REFERENCES

Fread, D. L. 1985. "Channel Routing," in Hydrological Forecasting, M. G. Anderson and T. P. Burt, eds. New York: John Wiley.

Ponce, V. M. and D. B. Simons. 1977. Shallow wave propagation in open channel flow. Journal of Hydraulic Engineering, ASCE, 103(12), 1461-1476.

Ponce, V. M. 1991. New perspective on the Vedernikov number. Water Resources Research, Vol. 27, No. 7, 1777-1779, July.

Ponce, V. M. 2014. Fundamentals of Open-channel Hydraulics. Online text.

Seddon, J. A. 1900. River hydraulics. Transactions, ASCE, Vol. XLIII, 179-243, June.

Woolhiser, D. A. and J. A. Liggett. 1967. Unsteady one-dimensional flow over a plane: The rising hydrograph. Water Resources Research, Vol. 3, 753-771.