1.  INTRODUCCIÓN

El conocido método de enrutamiento de avenidas Muskingum-Cunge (Natural Environment Research Council 1975; Ponce y Yevjevich, 1978) se ha aplicado con éxito durante muchos años en el modelado y predicción de avenidas. Los parámetros de enrutamiento de Muskingum fueron teóricamente derivados por Cunge (1969) basándose en el error de aproximación obtenido por una expansión en serie de Taylor de la función discreta. Aunque se ha demostrado que los parámetros así derivados funcionan razonablemente bien en una variedad de aplicaciones prácticas (Hydrologic Engineering Center, US Army Corps of Engineers, 1990), su vínculo con las expresiones analíticas para la celeridad de las ondas (Seddon, 1900) y la difusividad hidráulica (Hayami, 1951) aún no ha sido demostrado.

En este artículo se prueba el modelo Muskingum-Cunge comparando la celeridad de la onda de avenida y las cantidades de atenuación obtenidas analíticamente utilizando una aplicación numérica del modelo de Muskingum-Cunge. La concordancia entre los resultados analíticos y numéricos es una indicación de la precisión del modelo, cuando se utiliza para enrutar inundaciones en un entorno práctico.

2.  TEORÍA

El modelo de enrutamiento de avenidas Muskingum-Cunge (Cunge, 1969; Natural Environment Research Council, 1975) mejora el modelo clásico de Muskingum (Chow, 1959). En este modelo, los parámetros de enrutamiento se basan en datos hidráulicos fácilmente medibles (curva de gasto, pendiente de fondo, ancho del canal y longitud del tramo), en lugar de basarse en datos históricos de caudales de avenidas. Esto permite el enrutamiento en arroyos no aforados con una expectativa razonable de precisión, que de otro modo sería posible sólo si los arroyos estuvieran aforados. Como no es práctico aforar más de unos pocos arroyos, debe reconocerce un método preciso y que no esté basado en mediciones de aforos.

Ponce y Yevjevich (1978) mejoraron el modelo de Muskingum-Cunge expresando los parámetros de enrutamiento como el número adimensionales de Courant y de Reynolds de la célula, en la cual el primero es la razón de celeridades físicas y numéricas (Seddon, 1900; O'Brien et al., 1950), y el segundo es la relación de difusividades físicas y numéricas (Hayami, 1951; Cunge, 1969).

c Δt C = _____          Δx

(1)

qo D = __________          So c Δx

(2)

en la cual C = número de Courant, D = número de Reynolds de la célula, c = celeridad de la onda de avenida, Δx = intervalo de espacio, Δt = intervalo de tiempo, q_o = caudal de referencia por unidad de ancho, y S_o = pendiente de fondo.

Con los parámetros de enrutamiento de Muskingum definidos de esta manera, los coeficientes de enrutamiento son (Ponce y Yevejevich, 1978):

-1 + C + D C0 = ___________          1 + C + D

(3)

1 + C - D C1 = ___________          1 + C + D

(4)

1 - C + D C2 = ___________          1 + C + D

(5)

y la ecuación de enrutamiento es:

Qj+1n+1 = C0 Qj n+1 + C1 Qj n + C2 Qj+1n

(6)

en la cual j = índice espacial, y n = índice temporal.

La formulación de Cunge (Cunge, 1969) se basa en la teoría de la onda difusiva, cuya aplicabilidad ha sido confirmada por Ponce et al. (1978). El trabajo analítico pionero sobre la onda difusiva se debe a Hayami (1951), quien razonó que la mezcla longitudinal a gran escala causada por las irregularidades del flujo podría modelarse efectivamente como un proceso de difusión. Ponce y Simons (1977) utilizaron la teoría de la estabilidad lineal para derivar funciones de celeridad y atenuación para las perturbaciones sinusoidales del flujo uniforme.

En este artículo usamos los hallazgos de Ponce y Simons (1977) para calcular el flujo de salida máximo teórico (analítico) y el tiempo de viaje para una serie de hidrogramas sinusoidales, y comparar estos resultados con los obtenidos usando el modelo (numérico) de Muskingum-Cunge (Ecs. 1-6). Ponce (1989) ha observado el uso y las limitaciones del modelo Muskingum-Cunge.

3.  MODELO ANALÍTICO

La celeridad de la onda difusiva analítica se puede aproximar como la velocidad de Seddon (Ponce y Simons, 1977):

c = β u

(7)

en la cual c = celeridad de la onda de avenida, u = velocidad media, y β = exponente de la curva de gasto:

Q = α A β

(8)

o

q = α d β

(9)

en la cual Q = caudal, A = área de flujo, q = caudal por unidad de ancho, y d = profundidad de flujo.

La atenuación de la onda sigue una función de caída exponencial de la siguiente forma:

qpo = qo + (qpi - qo) exp ( -βI * t*)

(10)

en la cual q_po = flujo pico de salida, q_pi = flujo pico de entrada, q_o = flujo en equilibrio, β_{I *} = factor de amplitud de propagación adimensional, y t_* = tiempo adimensional transcurrido.

El factor de amplitud de propagación es (Ponce y Simons, 1977):

1 βI * = ___ σ*2            2

(11)

en la cual σ_* = número de onda adimensional, definido como sigue:

σ* = (2π / L) Lo

(12)

en la cual L = longitud de onda, y L_o = longitud de referencial del canal, definido como L_o = d_o / S_o.

Como L = cT, en la cual T = período de la onda, tomado como el tiempo de base T_b de un hidrograma sinusoidal, y t_* = t (u_o / L_o), se obtiene lo siguiente:

2π βI* t* = (______) 2 ν t                 cTb

(13)

en la cual ν = q_o / (2S_o) es la difusividad hidráulica (Hayami, 1951).

4.  PROGRAMA DE VERIFICACIÓN NUMÉRICA

Usamos una extensión del problema clásico de enrutamiento de inundaciones de Thomas (1934) para probar la concordancia entre el flujo pico de salida derivado analítica y numéricamente y el tiempo de viaje. El problema de Thomas enruta un hidrograma de inundación sinusoidal de tiempo base (es decir, período de onda) T_b = 96 hr, flujo pico de entrada q_pi = 200 pies³/s/pie, y flujo base q_b = 50 pies³/s/pie, a través de un canal de longitud L_r = 200 millas, pendiente S_o = 1 pie/milla, y la curva de gasto definida como sigue:

q = 0.688 d 5/3

(14)

a partir de la cual se calcula el coeficiente de Manning n = 0.0297.

Se desarrolló una serie de casos de prueba basados en el problema de Thomas, utilizando: (1) dos períodos de onda T_b = 48 y 96 h; (2) tres flujos de entrada máximos q_pi = 100, 200 y 500 pies³/s/pie, es decir, tres relaciones de flujo de entrada pico a flujo base q_pi / q_b = 2, 4 y 10; (3) dos longitudes de canal L_r = 200 y 500 millas. Se generaron doce hidrogramas de salida utilizando el modelo de Muskingum-Cunge de parámetro constante (Ponce y Yevjevich, 1978), en el cual el flujo de referencia se toma como sigue:

qpi - qo qo = qb + __________                        2

(15)

Para T_b = 48 hr, los intervalos de espacio y tiempo elegidos fueron Δx = 6.25 millas, y Δt = 1.5 hr, respectivamente; para T_b = 96 hr, los intervalos fueron Δx = 12.5 millas y Δt = 3 hr. Los períodos de onda elegidos (48 y 96 hr) satisfacen los criterios de aplicabilidad de la onda difusiva (Ponce et al., 1978):

Tb So (g / do)1/2 ≥ 30

(16)

en la cual g = aceleración de la gravedad. En efecto, para el caso menos favorable (T_b = 48 hr y q_pi = 500 pies³/s/pie), el criterio es el siguiente:

Tb So (g / do)1/2 = 31

(17)

lo cual garantiza que las ondas enrutadas permanezcan dentro del rango de las ondas de difusión.

5.  RESULTADOS Y CONCLUSIONES

La Tabla 1 resume la comparación del flujo pico de salida q_po, analítico y numérico, y tiempo de viaje T_t, para la serie de hidrogramas sinusoidales indicada. La Figura 1 muestra los hidrogramas de entrada y salida para un caso típico (T_b = 96 hr, L_r = 500 millas, y q_pi /q_b = 4). En este caso, el flujo de referencia es q_o = 125 pies³/s/pie, el flujo pico de salida q_po = 176.70 pies³/s/pie, y el tiempo de viaje T_t = 79.8 hr.

Fig. 1. Hidrogramas de entrada y salida para un caso típico (Tb = 96 hr, Lr = 500 mi, y qpi / qb = 4).

Sobre la base de este análisis, se concluye que el enrutamiento Muskingum-Cunge simula con precisión la propagación de ondas de avenida. En doce (12) pruebas que comprenden una amplia gama de condiciones que probablemente se encuentren en la práctica, la relación entre los flujos pico de salida, analíticos y numéricos, varió en el intervalo 0.991-1.003, y la relación entre los tiempos de viaje analíticos y numéricos varió en el intervalo 0.987- 1.021. La concordancia es realmente notable, aún cuando se utilizó un flujo de referencia constante en el cálculo de los valores analíticos.

AGRADECIMIENTOS

El presente estudio se realizó en otoño de 1994, mientras que el segundo autor residía en la Universidad Estatal de San Diego, con licencia del Centro Regional Llanuras del Ganges, Instituto Nacional de Hidrología, Patna (Bihar), India. Su licencia fue financiada por el Programa de las Naciones Unidas para el Desarrollo.

APÉNDICE.  BIBLOGRAFÍA

Chow, V. T. 1950. Open-channel Hydraulics. McGraw-Hill, New York.

Cunge, J. A., 1969. On the subject of a flood propagation computation method (Muskingum method). J. Hydraul. Res., 7(2): 205-230.

Hayami,S. 1951. On the Propagation of flood waves. Disaster Prey. Res. Inst, Kyoto Univ. Bull., 1: 1-16 Hydrologic Engineering Center, US Army Corps of Engineers, HEC-1, Flood hydrograph package. user's manual. Version 4.0, September, Davis, CA.

Natural Environment Research Council. 1975. Flood Studies Report, Vol. 5: Flood Routing Studies. NERC, London.

O'Brien, G. G., M. A. Hyman, y S. Kaplan. 1950. A study of the numerical solution of partial differential equations. J. Math. Phys., 29(4): 231-251.

Ponce, V. M. 1989. Engineering Hydrology, Principles and Practices. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ.

Ponce, V. M. y D. B. Simons. 1977. Shallow wave propagation in open channel flow. J. Hydraul. Div. ASCE. 103(.12): 1461-1476.

Ponce, V. M. y V. Yevjevich. 1978. Muskingum -Cunge method with variable parameter. J. Hydraul. Div. ASCE, 104(HY312): 1663-360.

Ponce, V. M., R. M. Li, y D. Simons. 1978. Applicability of kinematic and diffusion models. J. Hidraul. Div. ASCE, 104(HY3)353-360.

Seddon, J. A. (1900). River hydraulics. Trans. Am. Soc. Civ. Eng., 431 179-229.

Thomas, H. A. 1934. The hydraulics of flood movement in rivers. Engineering Bulletin. Carnegie Institute of Technology. Pittsburgh, PA.