Fig. 1  Inundación del río Cuiaba, Mato Grosso, Brazil, 10 de enero de 1995. NUEVA PERSPECTIVA SOBRE LA ECUACIÓN DE CONVECCIÓN-DIFUSIÓN-DISPERSIÓN Victor M. Ponce Versión online 2021 [Versión original 1994] Resumen. Los coeficientes de la ecuación diferencial parcial adimensional de convección-difusión-dispersión de las ondas de avenida se muestran como funciones solamente de los números de Froude y Vedernikov. El número de Froude es la relación entre la velocidad media y la celeridad relativa de la onda dinámica. El número de Vedernikov es la relación entre las celeridades relativas de la onda cinemática y dinámica. La ecuación de tercer orden de convección-difusión-dispersión es útil en el análisis de propagación de avenidas en el cual tanto la difusión como la dispersión son importantes. 1.  INTRODUCCIÓN El modelo de convección-difusión de las ondas de avenida [Hayami, 1951; Dooge, 1973] se mejora con la adición del término de dispersión, de tercer orden, constituyendo así un modelo de convección-difusión-dispersión [Ferrick et al., 1984]. Con el uso de una técnica dimensional apropiada, se demuestra que los coeficientes de la ecuación diferencial parcial resultante son función sólo de los números de Froude y Vedernikov. Esto subraya la importancia de estos números adimensionales en la descripción de la dinámica de propagación de las ondas de avenida. 2.  ECUACIÓN DE CONVECCIÓN-DIFUSIÓN-DISPERSIÓN El modelo de convección-difusión de las ondas de avenida se debe originalmente a Hayami [1951]. Dooge [1973] mejoró el modelo de Hayami al incluir la inercia en la formulación del coeficiente de difusión, resultando en un modelo de convección-difusión con inercia. Dooge et al. [1982] generalizaron el modelo de convección-difusión con inercia para cualquier tipo de fricción y forma de sección transversal. Ponce [1991] expresó el coeficiente de difusión en términos del número de Vedernikov. Ferrick et al. [1984] derivó la ecuación lineal de tercer orden más completa hasta la fecha, que incluye procesos de convección, difusión y dispersión, a seguir: Qt + c Qx = ν Qxx + η Qxxx (1) en la cual Q = caudal, c = celeridad convectiva, ν = coeficiente de difusión, y η = coeficiente de dispersión. La celeridad convectiva, o velocidad de la onda de avenida, se define como sigue [Seddon, 1900; Chow, 1959]:         dQ c = _____         dA (2) en la cual A = área de flujo. El coeficiente de difusión, o difusividad hidráulica, aplicable para la fricción de Chezy en canales hidráulicamente anchos es [Dooge, 1973]:           qo              F 2 ν = ______ ( 1 - _____ )         2 So              4 (3) en la cual qo = caudal por unidad de ancho, So = pendiente de fondo, y F = número de Froude, definido como sigue [Chow, 1959]:             uo F = __________        (g Do)1/2 (4) en la cual uo = velocidad media, Do = profundidad hidráulica, y g = aceleración de la gravedad. En la mayoría de los casos de interés práctico, la profundidad hidráulica puede ser aproximada por la profundidad de flujo yo. El coeficiente de dispersión, o dispersividad hidráulica, es el siguiente [Ferrick et al., 1984]:                   yo η = F 2 ( ______ ) v                  2So (5) Ponce [1991] ha expresado la celeridad convectiva como una función de los números de Froude y Vedernikov, como se muestra en la Ec. 6. El número de Vedernikov es la relación entre las celeridades relativas de las ondas cinemática y dinámica [Craya, 1952].                  V c = ( 1 + ____ ) uo                  F (6) Siguiendo a Dooge et al. [1982], Ponce [1991] expresó el coeficiente de difusión en términos del número de Vedernikov, generalizándolo para todos los tipos de fricción (Manning o Chezy turbulentos, y laminar) y formas de sección transversal, incluyendo los canales hidráulicamente anchos, triangular e inherentemente estable [Ponce y Porras, 1995]:          qo ν = ______ ( 1 - V 2 )         2 So (7) en la cual [Dooge et al. 1982; Ponce 1991]: V = ( β - 1 ) F (8) con β = exponente de la curva de gasto Q = α Aβ. Dado que qo = uo yo, y definiendo la longitud de referencia Lo = yo /So, el coeficiente de difusión es [Lighthill y Whitham, 1955]:           Lo ν = ( ____ ) uo ( 1 - V 2 )            2 (9) Además, con la Ec. 9, el coeficiente de dispersion es el siguiente:            Lo η = ( ____ ) 2 uo ( 1 - V 2 ) F 2             2 (10) 3.  ECUACIÓN ADIMENSIONAL DE CONVECCIÓN-DIFUSIÓN-DISPERSIÓN Para adimensionalizar la Ec. 1, se eligen las siguientes variables adimensionales: x' = x /Lo, y t' = t (uo /Lo). De esta manera, la Ec. 1 se convierte en: Qt'  + c' Qx'  = ν' Qx'x'  + η' Qx'x'x' (11) en la cual c' = celeridad adimensional:                V c' = 1 + _____                F (12) ν' = difusividad adimensional:          1 ν' = ___ ( 1 - V 2 )          2 (13) y η' = dispersividad adimensional:          1 η' = ___ ( 1 - V 2 ) F 2          4 (14) Por lo tanto, se demuestra que los tres coeficientes de la ecuación adimensional de convección-difusión-dispersion (Ecs. 12-14) son sólo funciones de los números de Froude y Vedernikov. La calculadora en línea ENLINEADISPERSIVIDAD.PHP calcula las siguientes propiedades de la onda de avenida: (1) celeridad, (2) difusividad, y (3) dispersividad. Los datos de entrada son: (a) velocidad media uo, (b) profundidad hidráulica Do, la cual puede ser aproximada por la profundidad de flujo yo, (c) pendiente de fondo So, y (d) exponente β de la curva de gasto. 4.  RESUMEN Los coeficientes de la ecuación diferencial parcial adimensional de convección-difusión-dispersión de las ondas de avenida son funciones sólo de los números de Froude y Vedernikov. El número de Froude es la relación entre la velocidad media y la celeridad relativa de la onda dinámica. El número de Vedernikov es la relación entre las celeridades relativas de la onda cinemática y dinámica. La ecuación de tercer orden de convección-difusión-dispersión es útil en el análisis de propagación de avenidas en los cuales tanto la difusión como la dispersión son importantes. BIBLIOGRAFÍA Chow, V. T. 1959. Open-channel Hydraulics, McGraw-Hill. New York. Craya, A. 1952. The criterion for the possibility of roll wave formation. In Gravity Waves, Circ. 521, pp. 141-151, National Institute of Standards and Technology, Gaithersburg, MD. Dooge, J. C. I. 1973. Linear theory of hydrologic systems: Chapter 9. Technical Bulletin No. 1468, 327 pp., U.S. Department of Agriculture, Washington. D.C. Dooge, J. C. I., W. B. Strupczewski, y J. J. Napiorkowski. 1982. Hydrodynamic derivation of storage parameters of the Muskingum model. Journal of Hydrology, 54, 371-387. Ferrick, M. G., J. Bilmes, y S. E. Long. 1984. Modeling rapidly varied flow in tailwaters. Water Resources Research, 20(2), 271-289. Hayami, S., On the propagation of flood waves. 1951. Bulletin Disaster Prevention Reserach Institute, Kyoto University. Japan, 1, 1-16. Lightbill, M. J., y G. B. Whitman. 1955. On kinematic waves. I. Flood movement in long rivers. Proceedings of the Royal Society of London, A, 229, 281-316. Ponce, V. M. 1991. New perspective on the Vedernikov number. Water Resources Research, 27(7), 1777-1779. Ponce, V. M. y P. J. Porras. 1995. Effect of cross-sectional shape on free-surface instability. ASCE Journal of Hydraulic Engineering, Vol. 121, No. 4, April, 376-380. Seddon, J. A. 1900. River hydraulics. Transactions, American Society of Civil Enginners, 43, 179-243.