Los siguientes tipos de ondas en aguas poco profundas son de uso general: (1) cinemática, (1a) difusiva, (2) mixta cinemático-dinámica, y (3) dinámica. La onda cinemática se rige únicamente por la gravedad y la fricción (Fig. 2); la onda de difusión por la gravedad, la fricción y el gradiente de presiones; la onda cinemático-dinámica mixta por la gravedad, la fricción, el gradiente de presiones y la inercia (Fig. 3); y la onda dinámica únicamente por el gradiente de presiones y la inercia (Tabla 1).

Es necesario señalar que actualmente existe una confusión semántica sobre cómo denominar a los diversos tipos de ondas. Lo que aquí llamamos onda cinemático-dinámica mixta se ha denominado generalmente en la literatura como "dinámica", luego de las contribuciones de Fread (1973). Por otro lado, la onda dinámica clásica (1788), es decir, la onda dinámica de Lagrange a menudo se denomina "onda de gravedad". En este trabajo, seguimos la denominación indicada en la Columna 2 de la Tabla 1, en un esfuerzo por contribuir a resolver la confusión semántica.

Fig. 2  Una onda cinemática clásica, caracterizada por un período de onda de crecida de un año! El Río Alto Paraguay en Porto Murtinho, Mato Grosso do Sul, Brasil.

El término "onda cinemática" fue introducido como tal por Lighthill y Whitham, supuestamente para contrastar las ondas dinámicas entonces bien establecidas, las cuales transportan energía, con las ondas que transportan masa. Citamos aquí directamente de la obra de Lighthill y Whitham (1955):

Las ondas dinámicas clásicas transportan sólo energía; por lo tanto, se deduce que las ondas cinemático-dinámicas mixtas transportan tanto masa como energía. En la resolución de esta dicotomía reside la fuerte tendencia atenuante (disipación) de las ondas cinemático-dinámicas mixtas.

Fig. 3  Falla de la presa Teton, en el río Teton, Idaho, el 5 de junio de 1976, la cual liberó una onda cinemático-dinámica mixta.

4.  CONTRIBUCIONES DE PONCE Y SIMONS

Ponce y Simons graficaron las celeridades relativas adimensionales (de ondas) a través del espectro de números de onda, y especializaron sus hallazgos en cada uno de los cuatro tipos de onda descritos en la Tabla 1. Fue crucial para este esfuerzo la identificación del número de onda adimensional σ_*, definido como sigue:

2 π σ*  =    ______   Lo                 L

(1)

en la cual L_o = longitud característica del tramo, la longitud del canal en la cual el flujo uniforme pierde una carga igual a su profundidad (Lighthill y Whitham, 1955):

do Lo  =    ______                 So

(2)

en la cual d_o = profundidad del flujo uniforme (o de equilibrio), y S_o = pendiente de fondo.

La Figura 4 muestra las celeridades relativas adimensionales (de onda) a través del espectro de número de onda adimensional. Dada c = celeridad de onda, la celeridad de la onda relativa c_r es:

cr  =  c - uo

(3)

en la cual u_o = velocidad del flujo uniforme. La celeridad de la onda relativa adimensional c_r*  es:

c - uo cr*  =    _______                   uo

(4)

El rango de números de onda adimensionales mostrado en la Fig. 4 abarca seis órdenes de magnitud, desde las ondas más largas (cinemáticas, de pequeño σ_*), hasta las ondas más cortas (dinámicas, de grande σ_*). Aquí nos referimos a la Fig. 4 como la curva S. Los cuatro tipos de ondas (cinemática, difusiva, cinemático-dinámica mixta, y dinámica) están contenidos en la curva S de Ponce y Simons.

Fig. 4  Celeridad de onda relativa adimensional versus número de onda adimensional en el flujo en canal abierto (Ponce y Simons, 1977).

5.  ONDAS CINEMÁTICAS

Las ondas cinemáticas se rigen únicamente por las fuerzas de gravedad y fricción. Su celeridad es constante e igual a la celeridad de la onda cinemática, o celeridad de Seddon, y no se atenúan (con algunas excepciones para ondas no lineales). La celeridad de Seddon (1900) es:

1          dQ ck =    _____   ______              T          dy

(5)

en la cual T = ancho superior del canal, Q = caudal, e y = profundidad de flujo. La celeridad de la onda cinemática se expresa alternativamente de las siguientes maneras (Ponce, 2014):

ck  =   β u

(6)

en la cual β = exponente de la curva de gasto caudal-area:

Q  =   α A β

(7)

La celeridad de la onda cinemática relativa, o celeridad de la onda cinemática relativa a la velocidad del flujo, es:

crk   =  (β - 1) u

(8)

La celeridad relativa adimensional de la onda cinemática es:

cdrk  =   β - 1

(9)

El valor de β es una función de la fricción de fondo y la forma de la sección transversal. Para la fricción de Chezy en un canal hidráulicamente ancho: β = 1,5. En este caso:

cdrk  =   0,5

(10)

Para números de Froude en régimen estable, F ≤ 2, lo cual corresponde a números de Vedernikov V ≤ 1 (Ponce, 1991), La Figura 4 muestra el rango de números de onda adimensionales para los cuales prevalecen las ondas cinemáticas: 0,001 ≤ σ_* ≤ 0,1. Para los números de Froude y Vedernikov en el régimen inestable, F > 2, o V > 1, el rango es algo reducido, como se muestra hacia la izquierda de la Fig. 4.

Fig. 4  Celeridad de onda relativa adimensional vs número de onda adimensional en flujo en canal abierto (Ponce y Simons, 1977).

En la teoría de Ponce y Simons, la atenuación de la onda es una función del cambio en la celeridad relativa adimensional (de la onda) con el cambio en el número de onda adimensional. En otras palabras, la atenuación es causada por el cambio de celeridad con el tamaño (es decir, la longitud) de la onda. Para el caso de (dc_r* /dσ_*) = 0, no puede haber atenuación de onda; por lo tanto, las ondas cinemáticas no se atenúan.

La conclusión anterior, aunque fuerte, es estrictamente válida solo para la teoría lineal en canales hidráulicamente anchos. En el caso general (no lineal), las ondas cinemáticas pueden sufrir cambios de forma, ya sea empinándose o aplanándose, dependiendo de la forma de la sección transversal (Ponce y Windingland, 1985). En el caso de empinamiento, esto eventualmente conduce al choque cinemático [Fig. 5 (a)], mientras que en el caso de aplanamiento, la situación se asemeja a la atenuación de onda [Fig. 5 (b)].

Fig. 5  Enrutamiento de ondas de inundación no lineales: (a) aumento de la inclinación de la ondas; y (b) atenuación de las ondas (Ponce y Windingland, 1985).

En resumen, las ondas cinemáticas viajan con la celeridad de Seddon y, en general, no están sujetas a atenuación. La condición de que una onda sea cinemática depende del número de onda adimensional, y la onda se vuelve más cinemática a medida que σ_* disminuye (consultar la Fig. 4 para examinar los valores apropiados).

El criterio para la aplicabilidad de una onda cinemática en el flujo de canal abierto ha sido tratado por Ponce et al. (1978). Para una precisión del 95% después de un período de propagación, se cumple la siguiente desigualdad adimensional:

uo T So   ( _____ )  ≥  171                 do

(11)

en la cual T = período de la onda; S_o = pendiente de fondo; u_o = velocidad media; y d_o = profundidad media.

6.  ONDAS DIFUSIVAS

Las ondas difusivas se rigen por la gravedad, la fricción y el gradiente de presiones. La inclusión del gradiente de presiones en la formulación proporciona difusión, es decir, la onda es capaz de experimentar atenuación o disipación; de ahí su nombre, onda difusiva. El origen del nombre se remonta al trabajo de Lighthill y Whitham (1955), quienes consideraron que la difusión podría agregarse a una onda cinemática al incluir el término de gradiente de presiones en la formulación.

En la teoría de Ponce y Simons, la celeridad de una onda difusiva es, como aproximación, la misma que la de la onda cinemática vecina (en el espectro de número de onda adimensional). La diferencia está en la función de atenuación. A diferencia de la onda cinemática, para la cual la atenuación es nula, la onda difusiva está sujeta a una atenuación pequeña. La atenuación es una función del número de onda adimensional σ_* , y, como era de esperar, la atenuación aumenta con el número de onda.

Para caracterizar la magnitud de la atenuación de la onda, Ponce y Simons utilizaron el decremento logarítmico δ, el cual mide la atenuación después de un período sinusoidal de onda. Para la onda difusiva, el decremento logarítmico es:

σ* δd   =   - 2 π   _____                           3

(12)

el cual se reduce a δ_d ⇒ 0 cuando σ_* ⇒ 0, fusionándose así en una onda cinemática.

Una onda de difusión tiene un rango más amplio de aplicabilidad que una onda cinemática. En los casos en los cuales no se aplica una onda cinemática, puede ser aplicable la onda difusiva. El criterio para la aplicabilidad de la onda difusiva ha sido desarrollado por Ponce et al. (1978). El criterio se basa en la siguiente desigualdad adimensional:

g T So   ( ____ ) 1/2  ≥  30               do

(13)

en la cual g = aceleración gravitacional.

En la Figura 4, las ondas difusivas estarían a la derecha de las ondas cinemáticas, en el medio del rango adimensional del número de onda, 0.1 ≤ σ_* ≤ 10, dependiendo del número de Froude. Cuanto menor sea el número de Froude predominante en el rango estable (F ≤ 2), mayor será el rango de aplicabilidad de las ondas difusivas.

7.   ONDAS CINEMÁTICO-DINÁMICAS MIXTAS

Las ondas cinemático-dinámicas mixtas están gobernadas por las cuatro fuerzas: gravedad, fricción, gradiente de presiones, e inercia. Como tal, una onda cinemático-dinámica mixta representa la formulación más completa de ondas poco profundas en el flujo en canal abierto; sin embargo, no está exenta de problemas. En condiciones típicas de flujo subcrítico, las ondas cinemático-dinámicas mixtas están sujetas a una atenuación muy fuerte, hasta el punto de que a menudo se puede cuestionar su existencia. Este hecho fue reconocido por Lighthill y Whitham (1955) cuando afirmaron:

Por lo tanto, las ondas cinemático-dinámicas mixtas, las cuales se encuentran directamente en la rama ascendente de la curva S (Fig. 4), generalmente están sujetas a una atenuación considerable. La tasa de atenuación aumenta con la rapidez de ascenso de la curva, alcanzando su pico en el punto de inflexión.

Estas proposiciones fueron demostradas por Ponce y Simons (1977) en su análisis del modelo de onda cinemático-dinámica mixta. Los resultados se resumen en las Figs. 4, 6, 7 y 8.

Fig. 4  Celeridad de onda relativa adimensional vs número de onda adimensional en flujo en canal abierto (Ponce y Simons, 1977).

Fig. 6  Decremento logarítmico de onda primaria vs número de onda adimensional, para números de Froude en el rango estable (F < 2) (Ponce y Simons, 1977).

Fig. 7  Incremento logarítmico de onda primaria vs número de onda adimensional, para números de Froude en el rango inestable (F > 2) (Ponce y Simons, 1977).

Fig. 8 (a)  Decremento logarítmico de la onda secundaria vs número de onda adimensional, para todos los números de Froude (Ponce y Simons, 1977).

Fig. 8 (b)  Decremento logarítmico de onda secundaria vs número de onda adimensional, para números de Froude subcríticos (Ponce y Simons, 1977).

Las siguientes conclusiones se extraen de la Fig. 4:

• Las ondas cinemático-dinámicas mixtas se encuentran entre las ondas cinemáticas, a la izquierda del espectro del número de onda, y las ondas dinámicas, a la derecha.

• Las ondas cinemático-dinámicas mixtas están sujetas a una atenuación muy fuerte.

• Para el número de Froude F = 2, correspondiente al número de Vedernikov V = 1 bajo la fricción de Chezy en un canal hidráulicamente ancho, todas las ondas viajan con la misma celeridad.

Las siguientes conclusiones se extraen de la Fig. 6:

• En el rango estable de los números de Froude, F < 2, correspondiente a los números de Vedernikov V < 1, la función de atenuación de la onda primaria alcanza su punto máximo alrededor del centro-derecha del espectro del número de onda.

• La atenuación de la onda primaria es claramente mayor a medida que el número de Froude disminuye en el régimen subcrítico.

Las siguientes conclusiones se extraen de la Fig. 7:

• En el rango inestable de los números de Froude, F > 2, correspondiente a los números de Vedernikov V > 1, la función de amplificación de la onda primaria alcanza su punto máximo alrededor del centro-izquierda del espectro de número de onda.

• La amplificación de la onda primaria es algo más fuerte a medida que aumenta el número de Froude en el régimen supercrítico.

Las siguientes conclusiones se extraen de la Fig. 8:

• En el régimen de flujo subcrítico, la atenuación de la onda secundaria aumenta bruscamente hasta el infinito a la derecha del rango medio de los números de onda adimensional.

• En el régimen de flujo crítico, la atenuación de onda secundaria alcanza un mínimo en el rango medio de números de onda adimensional.

• En el régimen de flujo supercrítico, la atenuación de la onda secundaria disminuye desde valores altos en el rango cinemático hasta valores bajos en el rango dinámico.

En resumen, los hallazgos de Ponce y Simons (1977) sirven para esclarecer la relación entre ondas cinemáticas y cinemático-dinámicas mixtas: Mientras las primeras no se atenúan, las segundas están sujetas a una atenuación muy fuerte, particularmente en el régimen subcrítico, donde su importancia es mayor. Las ondas cinemáticas son aplicables al flujo sobre la superficie y al enrutamiento de inundaciones; las ondas mixtas cinemático-dinámicas se aplican principalmente a las ondas de crecidas de rotura de presas y, en casos inusuales, al enrutamiento de crecidas. Las ondas difusivas, que se encuentran entre las ondas cinemáticas y las mixtas cinemático-dinámicas, tienen pequeñas cantidades de difusión y, por lo tanto, pueden simular adecuadamente las ondas de inundación.

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8.  ONDAS DINÁMICAS

Las ondas dinámicas de la mecánica clásica se rigen únicamente por el gradiente de presiones y la inercia. Se encuentran a la derecha del espectro de número de onda adimensional, correspondiente a la parte superior de la curva S de la Fig. 4. En su mayor parte, su celeridad es constante e igual a la celeridad de la onda dinámica, o celeridad clásica de Lagrange, expresada de la siguiente manera:

cd  =   u  ±  ( gd )1/2

(14)

Esta ecuación revela los dos componentes de la onda dinámica. La celeridad relativa de la onda dinámica es:

crd  =  ±  ( gd )1/2

(15)

La celeridad relativa adimensional de la onda dinámica es:

( gd )1/2 cdrd =    ±   _________                             u

(16)

el cual se reconoce como el recíproco del número de Froude:

1 cdrd =    ±   _____                       F

(17)

La Ecuación 17 se representa en la Figura 4. Por ejemplo, para F = 0,1 (curva rosada), el valor de la celeridad de onda relativa adimensional se aproxima al valor 10 a la derecha de la escala.

Fig. 4  Celeridad de onda relativa adimensional vs número de onda adimensional en el flujo en canal abierto (Ponce y Simons, 1977).

Las siguientes conclusiones con respecto a las ondas dinámicas se extraen de la Fig. 4:

• La celeridad de una onda dinámica es constante e independiente de la escala, es decir, del número de onda adimensional.

• La atenuación de una onda dinámica es cero, es decir, las ondas dinámicas no se atenúan (en flujo unidimensional).

• En el número de Froude F = 2, que corresponde al número de Vedernikov V = 1 (bajo la fricción de Chezy en canales hidráulicamente anchos), la celeridad de las ondas dinámicas es igual a la de las ondas cinemáticas. En este punto, el flujo es neutralmente estable, es decir, en el umbral de inestabilidad del flujo. La condición V  > 1 es necesaria, pero no suficiente, para la formación de ondas de rollo (Ponce y Choque Guzmán, 2019) (Fig. 9).

Fig. 9   Ondas de rollo en un canal de riego lateral, irrigación Cabana-Mañazo, Puno, Perú.

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9.  RESUMEN

Se revisa y esclarece la teoría de ondas superficiales de Ponce y Simons (1977), con el objetivo de mostrar su importancia en el esclarecimiento de la mecánica del flujo no estacionario en canales abiertos. Se identifican cuatro fuerzas: gravedad, fricción, gradiente de presiones, e inercia. Estas fuerzas dan lugar a varias combinaciones prácticas, lo que permite definir los siguientes tipos de ondas poco profundas: (1) cinemáticas, (1a) difusivas, (2) cinemático-dinámicas mixtas, y (3) dinámicas. Las características de estos tipos de ondas, incluidas las funciones de celeridad y atenuación, se describen y explican en detalle mediante ayudas gráficas (consultar la Tabla 2). La elucidación de la teoría hará posible posible un mayor entendimiento y conducirá a una mejor modelación del flujo no permanente en canales abiertos.

Tabla 2 (a).  Características de varios tipos de ondas en aguas poco profundas en régimen estable (V < 1).
No.	Tipo de onda	Celeridad relativa adimensional	Atenuación
1	Cinemática	0.5	0
1a	Difusiva	≅ 0.5	Pequeña
2	Mixta cinemático-dinámica	Creciente de 0.5 a (1/F)	Creciente con F decreciente
3	Dinámica	1/F	0

Tabla 2 (b).  Características de varios tipos de ondas en aguas poco profundas en régimen inestable (V > 1).
No.	Tipo de onda	Celeridad relativa adimensional	Amplificación
1	Cinemática	0.5	0
2	Mixta cinemático-dinámica	Decreciente de 0.5 a (1/F)	Creciente con F creciente
3	Dinámica	1/F	0

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BIBLIOGRAFÍA

Fread, D. L. 1973. Technique for implicit dynamic routing in rivers with tributaries. Water Resources Research, 9(4), 338-351.

Lagrange, J. L. 1788. Mécanique analytique, Paris, part 2, section II, article 2, p. 192.

Lighthill, M. J., y G. B. Whitham. 1955. On kinematic waves: I. Flood movement in long rivers. Proceedings, Royal Society of London, Series A, 229, 281-316.

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Ponce, V. M. 2014. Engineering hydrology: Principles y practices. Second edition, online textbook.

Ponce, V. M. 2014. Fundamentals of Open-channel Hydraulics. Online textbook.

Ponce, V. M. y B. Choque Guzmán. 2019. The control of roll waves in channelized rivers. Link No. 36023 in ponce.sdsu.edu.

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