Falla de la represa Teton, 5 de junio de 1976, Cañón Teton, Idaho, EE.UU.
¿ES LA DISPERSIÓN IMPORTANTE EN EL TRÁNSITO DE AVENIDAS?
Víctor M. Ponce
Profesor Emérito de Ingeniería Civil y Ambiental
Universidad Estatal de San Diego,
California, EE.UU.
16 febrero 2026
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RESUMEN.
Se utiliza una ecuación diferencial de tercer orden,
de convección-difusión-dispersión, para el cálculo del tránsito de
avenidas (Ferrick y otros, 1984)
como base para el desarrollo de una ecuación adimensional de
convección-difusión-dispersión. Esta ecuación revela que sus
tres coeficientes son
funciones únicamente de los números de Froude y Vedernikov,
los dos pilares conceptuales del flujo no permanente
en canales abiertos. El programa
ONLINEDISPERSIVITY se utiliza para determinar
el orden de magnitud de los coeficientes de difusión y dispersión.
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1. INTRODUCTION
El enrutamiento de una inundación consiste del cálculo del movimiento
de una onda de avenida (crecida) en el espacio y en el tiempo a lo largo de
una corriente, río o canal. Las ecuaciones que rigen este proceso son
las de conservación de la masa
y del momento, conocidas como las ecuaciones de Saint-Venant (1871)
(Chow, 1959; Ponce, 2014a). La solución conjunta de estas ecuaciones
da como resultado una onda cinemático-dinámica mixta.
En el tránsito de avenidas, a esta onda se la
conoce comúnmente como "onda dinámica" (Fread, 1985).
La confirmación de que la contribución del término de
inercia suele ser mínima
llevó a Hayami (1951)
a simplificar el problema del tránsito
de avenidas combinando el conjunto de las dos ecuaciones de gobierno
en una sola, con el espacio x y el tiempo t como variables
independientes, y el caudal Q como variable dependiente. A esta
ecuación se la denomina ecuación de convección-difusión.
Ésta es una ecuación diferencial parcial de segundo orden que describe
la convección, de primer orden, y la difusión, de segundo orden.
A este enfoque del cálculo del tránsito
de avenidas se le conoce como
la analogía de difusión de Hayami
(Ponce, 2014b).
Ferrick y otros (1984) añadieron otro término a la ecuación de
convección-difusión, creando así un tercer término, al que
denominaron de dispersión. Así surgió la ecuación
de convección-difusión-dispersión para el
tránsito de avenidas. El trabajo de Ferrick fue mejorado
por
Ponce (2020), quien
expresó la ecuación de convección-difusión-dispersión
en forma adimensional. Además, Ponce expresó los coeficientes
de la ecuación adimensional únicamente en términos de los números
de Froude y Vedernikov, confirmando la sólida base teórica
del flujo no permanente en canales
abiertos
(Ponce, 2023).
Este artículo se enfoca en la importancia de la difusión
y la dispersión en el tránsito de avenidas
en la ingeniería hidráulica. La calculadora en línea
ONLINEDISPERSIVITY
se utiliza para calcular la magnitud de los coeficientes de enrutamiento.
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Una breve aclaración.
El término "dispersión" fue utilizado por Ferrick et al. (1984)
para denotar el término de tercer orden en la ecuación diferencial
que rige el flujo unidimensional no permanente en canales abiertos.
Sin embargo, "dispersión" puede tener diferentes
usos en diferentes campos. Por ejemplo, en la mecánica
de fluídos, dispersión generalmente se refiere a la
dispersión de masa. En este trabajo, utilizamos el
término "dispersión" al modo de Ferrick et al. (1984),
es decir, en referencia a la dispersión del
momento en el flujo en canales abiertos.
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2. ECUACIÓN DE
CONVECCIÓN-DIFUSIÓN-DISPERSIÓN
La Tabla 1, Ecuación 1, muestra la ecuación de
convección-difusión-dispersión. El coeficiente de convección
es la celeridad de Seddon, conocida como la
celeridad de la onda cinemática
(Seddon, 1900;
Ponce, 2014c).
El coeficiente de difusión
es la difusividad de Hayami (Hayami, 1951;
Ponce, 2014b).
El coeficiente de dispersión es la dispersividad de Ferrick
(Ferrick y otros, 1984;
Ponce, 2020).
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Tabla 1. Elementos de la ecuación diferencial de
convección-difusión-dispersión. |
| Ecuación |
Qt + c Qx = ν Qxx +
η
Qxxx | (1) |
| Coeficiente de convección |
V
c = ( 1 + ____ )
uo
F
| (2) |
| Coeficiente de difusión |
Lo
ν = ____
uo ( 1 -
V2 )
2 |
(3) |
| Coeficiente de dispersión |
Lo
η = ( _______
) 2
uo ( 1 -
V2 ) F2
2
| (4) |
|
Definición de variables.
Q = descarga, o caudal;
A = área de flujo;
x = variable espacio; t = variable
tiempo;
g = aceleración de la gravedad;
α = coeficiente de la curva de gasto descarga-área de flujo Q = α Aβ;
β = exponente de la curva de gasto descarga-área de flujo Q = α Aβ;
uo = velocidad media;
yo = profundidad de flujo;
So = pendiente de fondo del canal;
Lo = longitud de referencia del canal =
yo /So;
F = número de Froude =
uo / (g yo)1/2;
V = número deVedernikov = (β - 1) F.
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3. ECUACIÓN ADIMENSIONAL DE
CONVECCIÓN-DIFUSIÓN-DISPERSIÓN
La Tabla 2, Ecuación 5, muestra la ecuación diferencial adimensional
de convección-difusión-dispersión
de las ondas de avenida
(Ponce, 2020).
Para lograr la adimensionalización, hemos utilizado la longitud
de referencia del canal Lo, definida como
la distancia en la que el flujo pierde una carga igual a su
profundidad (ver penúltima linea en la Tabla 1)
(Lighthill y Whitham, 1955;
Ponce
y Simons, 1977).
Se muestra que los tres coeficientes adimensionales
(Ecs, 6, 7, y 8)
son funciones únicamente de los números de Froude y Vedernikov.
Por lo tanto, se concluye que estos dos números constituyen
los pilares del flujo no permanente en canales abiertos;
juntos, describen y caracterizan el movimiento de las ondas.
Nótese que el coeficiente adimensional
de convección c' (Ec. 6),
también denominado celeridad adimensional de la onda cinemática, es,
de hecho, el exponente de la curva de gasto descarga-area: β = 1 + (V/F).
Por lo tanto,
β puede ser considerado como el parámetro más importante
en el flujo unidimensional no permanente en canales abiertos (Ponce, 2023).
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Tabla 2. Elementos de la ecuación diferencial adimensional de
convección-difusión-dispersión. |
| Ecuación |
Qt' + c' Qx' = ν' Qx'x' +
η'
Qx'x'x' | (5) |
| Coeficiente adimensional de convección |
V
c' = 1 + ____
F
| (6) |
| Coeficiente adimensional de difusión |
1
ν' = ____
( 1 -
V2 )
2 |
(7) |
| Coeficiente adimensional de dispersión |
1
η' = ___
( 1 -
V2 ) F2
4
| (8) |
|
Definición de variables.
x' = espacio adimensional = x /Lo;
t' = tiempo adimensional = t (uo /Lo).
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4. ANÁLISIS
La Tabla 3 muestra los resultados del programa
ONLINEDISPERSIVITY.
Se varió la velocidad uo (Col. 2), la profundidad
yo (Col. 3), y la pendiente
So (Col. 4), como se muestra en la tabla.
El enfoque se centró en
el caudal unitario (qo = uoyo)
y la pendiente
So (Col. 4), ya que estas variables están
estrechamente relacionadas con los coeficientes de
difusión (Ec. 3) y de dispersión (Ec. 4). El valor de β,
exponente de la curva de gasto (ver definición en la Tabla 1), se fijó
en β = 1,5 (Col. 5), debido a que este valor
constituye un valor central
en el rango de variabilidad usual en la práctica (1,33-1,67).
Las observaciones específicas sobre los coeficientes de difusión y dispersión son las siguientes:
- La difusión (Col. 9) aumenta con el aumento del caudal unitario, es decir, con el aumento de uo y/o yo (Cols. 2 y 3).
- La difusión (Col. 9) aumenta con la disminución de la pendiente (Col. 4).
- La dispersión (Col. 10) aumenta con el aumento
del caudal unitario, es decir, con el aumento de uo
y/o yo (Cols. 2 y 3).
- La dispersión (Col. 10) aumenta con la disminución de la pendiente (Col. 4).
- Los coeficientes adimensionales (Cols. 11, 12 y 13) son independientes de la pendiente.
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Tabla 3. Resultados del programa
ONLINEDISPERSIVITY (https://ponce.sdsu.edu/onlinedispersivity.php). |
| (1) |
(2) |
(3) |
(4) |
(5) |
(6) |
(7) |
(8) |
(9) |
(10) |
(11) |
(12) |
(13) |
| Line |
uo
(m/s) |
yo
(m) |
So
(m/m) |
β |
F |
V |
c
(m/s) |
ν
(m2/s) |
η
(m3/s) |
c' |
ν' |
η' |
| 1 |
1 |
1 |
0.01 |
1.5 |
0.32 |
0.16 |
1.5 |
4.97 |
248.34 |
1.5 |
0.49 |
0.025 |
| 2 |
1 |
1 |
0.001 |
1.5 |
0.32 |
0.16 |
1.5 |
49.7 |
24834. |
1.5 |
0.49 |
0.025 |
| 3 |
1 |
1 |
0.0001 |
1.5 |
0.32 |
0.16 |
1.5 |
497. |
2483475. |
1.5 |
0.49 |
0.025 |
| 4 |
2 |
2 |
0.01 |
1.5 |
0.45 |
0.225 |
3.0 |
38.69 |
3870. |
1.5 |
0.47 |
0.048 |
| 5 |
2 |
2 |
0.001 |
1.5 |
0.45 |
0.225 |
3.0 |
386.9 |
386964. |
1.5 |
0.47 |
0.048 |
| 6 |
2 |
2 |
0.0001 |
1.5 |
0.45 |
0.225 |
3.0 |
3869. |
38696497. |
1.5 |
0.47 |
0.048 |
| 7 |
4 |
4 |
0.01 |
1.5 |
0.64 |
0.32 |
6.0 |
292.94 |
58585. |
1.5 |
0.45 |
0.092 |
| 8 |
4 |
4 |
0.001 |
1.5 |
0.64 |
0.32 |
6.0 |
2929.4 |
5858924. |
1.5 |
0.45 |
0.092 |
| 9 |
4 |
4 |
0.0001 |
1.5 |
0.64 |
0.32 |
6.0 |
29294. |
585892404. |
1.5 |
0.45 |
0.092 |
5. RESUMEN
Una ecuación diferencial parcial de tercer orden,
de convección-difusión-dispersión de caudales de avenida
(Ferrick y otros, 1984), se utiliza como base
para el desarrollo de una ecuación adimensional de
convección-difusión-dispersión. Esta ecuación revela que
sus tres coeficientes son funciones únicamente de los
números de Froude y Vedernikov, reconocidos como los
dos pilares del flujo unidimensional no permanente en
canales abiertos
(Ponce, 2024). El programa
ONLINEDISPERSIVITY (https://ponce.sdsu.edu/onlinedispersivity.php)
establece el orden de magnitud de la difusión (segundo orden)
y la dispersión (tercer orden) en el flujo
no permanente en canales abiertos.
REFERENCIAS
Chow, V. T. 1959. Open-channel hydraulics. McGraw-Hill, Inc, New York, NY.
Ferrick, M. G., J. Bilmes, y S. E. Long. 1984.
Modeling rapidly varied flow in tailwaters.
Water Resources Research, 20 (2), 271-289.
Fread, D. L. 1985. "Channel Routing," in Hydrological Forecasting, M. G. Anderson and T. P. Burt, eds. New York: John Wiley.
Hayami, I. 1951.
On the propagation of flood waves. Bulletin, Disaster Prevention Research Institute,
No. 1, December.
Lighthill, M. J. y G. B. Whitham. 1955.
On kinematic waves. I. Flood movement in long rivers.
Proceedings, Royal Society of London, Series A, 229, 281-316.
Ponce, V. M. y D. B. Simons. 1977.
Shallow wave propagation in open channel flow.
Journal of Hydraulic Engineering, ASCE, 103(12), December, 1461-1476.
Ponce, V. M. 2014a.
Fundamentals of Open-channel Hydraulics.
Online textbook.
ponce.sdsu.edu/openchannel/index.html
Ponce, V. M. 2014b.
Engineering Hydrology: Principles and Practices.
Online textbook.
ponce.sdsu.edu/enghydro/index.html
Ponce, V. M. 2014c.
Engineering Hydrology: Principles and Practices.
Online textbook.
ponce.sdsu.edu/enghydro/engineering_hydrology_09.php#kinematic.html
Ponce, V. M. 2020.
A dimensionless convection-diffusion-dispersion equation of flood waves. Online article.
ponce.sdsu.edu/dimensionless_convection_diffusion_dispersion_equation.html
Ponce, V. M. 2023.
The states of flow. Online article.
ponce.sdsu.edu/the_states_of_flow.html
Ponce, V. M. 2024.
Froude and Vedernikov: Pillars of open-channel hydraulics. Online article.
ponce.sdsu.edu/froude_and_vedernikov_pillars_of_open_channel_hydraulics.html
Saint-Venant, B. de. 1871. Theorie du mouvement non-permanent des eaux avec application aux
crues des rivieres et l' introduction des varees dans leur lit,
Comptes Rendus Hebdomadaires des Seances de l'Academie des Science,
Paris, France, Vol. 73, 1871, 148-154.
Seddon, J. A. 1900. River hydraulics. Transactions, ASCE, Vol. XLIII, 179-243, June.
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